充分条件与必要条件

教学目标 

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想. 教学建议

（一）教材分析

1.知识结构

首先给出推断符号“ ”，并引出的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识.

2.重点难点分析

本节的重点与难点是关于充要条件的判断.

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系.

（2）在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

③最后再指出条件是结论的什么条件.

（3）在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：

①若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；

②若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；

③若 ，且 ，则 是 的充要条件；

④若 ，且 ，则 是 的充要条件；

⑤若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.

（4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断.

①若 ，则 是 的充分条件；

显然，要使元素 ，只需 就够了.类似地还有：

②若 ，则 是 的必要条件；

③若 ，则 是 的充要条件；

④若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件.

（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立.

（二）教法建议

1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的.它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题.

2.由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性.

3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念.

4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程 中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.

教学设计示例

充要条件

教学目标 ：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想.

教学重点难点：关于充要条件的判断

教学用具：幻灯机或实物投影仪

教学过程 设计

1.复习引入

练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

（1）若 ，则 ；

（2）若 ，则 ；

（3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（5）若 ，则 ；

（6）若方程 有两个不等的实数解，则 .

（学生口答，教师板书.）

（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题.

置疑：对于命题“若 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题.如何判断其真假的？

答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题.

对于命题“若 ，则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立.换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 .

2.讲授新课

（板书充分条件的定义.）

一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件.

提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系.

（学生口答）

（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件.

从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件.

（板书必要条件的定义.）

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.

（学生口答）.

（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；

（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

（5）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

（6）因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”，所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件.

总结：如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 .

（板书充要条件的定义.）

3.巩固新课

例1  （用投影仪投影.）

（学生活动，教师引导学生作出下面回答.）

①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；

⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；

⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要条件；

⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件；

⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识.）

例2  已知 是 的充要条件， 是 的必要条件同时又是 的充分条件，试 与 的关系.（投影）

解：由已知得

，

所以 是 的充分条件，或 是 的必要条件.

4.小结回授

今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.

课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练习l、2.

（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评.）

5.课外作业 ：教材第36页      习题1.8    1、2、3.