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第一册等差数列

2022-10-09高一数学教案

§3.2.1等差数列<?xml:namespace prefix =o ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

目的1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式,并能用来解决有关问题。

重点1.要证明数列{an}为等差数列,只要证明an+1-an等于常数即可(这里n1,nN*

2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d (n1,nN*).

3.等到差中项:若aAb成等差数列,则A叫做ab的等差中项,且<?xml:namespace prefix =v ns ="urn:schemas-microsoft-com:vml" />

难点:等差数列“等差”的特点。公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

      等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说,等差数列的首项和公差已知,那么,这个等差数列就确定了。

过程

一、引导观察数列:45678910,……

                      30-3-6,……

                     ,……

                        12,9,6,3,……

       特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义: (见P115)

        注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数

1.名称:AP     首项   公差

2.若   则该数列为常数列

3.寻求等差数列的通项公式:

              

    由此归纳为       (成立)

       注意:  1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数

              2° 如果通项公式是关于 的一次函数,则该数列成AP

          证明:

                它是以 为首项, 为公差的AP。

              3° 公式中若  则数列递增, 则数列递减

  4° 图象: 一条直线上的一群孤立点

三、例题: 注意在 四数中已知三个可以

       求出另一个。

1 (P115例一)

2 (P116例二)  注意:该题用方程组求参数

3 (P116例三)  此题可以看成应用题

四、  关于等差中项: 如果 成AP 则

      证明:设公差为 ,则  

           

   例4  《教学与测试》P77 例一:在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP,求此数列。

       解一:   是-1与7 的等差中项

   又是-1与3的等差中项

 

             又是1与7的等差中项 

       解二:  

∴所求的数列为-1,1,3,5,7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

      1.定义法:即证明

        5、已知数列 的前 项和 ,求证数列 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。 

          解:                      

  

             亦满足 

              首项     

               AP且公差为6

     2.中项法: 即利用中项公式,若 AP

           6   已知 AP,求证 也成AP

             证明: AP  

   化简得:                                       

                        

                      =

                 也成AP

         3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。

         7  设数列 其前 项和 ,问这个数列成AP吗?

            解:       

                         

                   数列 不成AP   但从第2项起成AP

五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

六、作业 : P118 习题3.2    1-9

   七、练习:

       1.已知等差数列{an},(1an=2n+3,a1d   2a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.

       2.在数列{an}中,an=3n-1,试用定义证明{an}是等差数列,并求出其公差。

         注:不能只计算a2-a1a3-a2a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。

       3.在1101中间插入三个数,使它们和这两个数组成等差数列,求插入的三个数。

       4.在两个等差数列2582712…中,求1到200内相同项的个数。

          分析:本题可采用两种方法来解。

            (1)用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发,根据

相同项,建立等式,结合整除性,寻找出相同项的通项。

            (2)用等差数列的性质来求解。关键要抓住:两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数。

      5.在数列{an}, a1=1,an= ,(n2),其中Sn=a1+a2++an.证明数列是等

差数列,并求Sn

        分析:只要证明 (n2)为一个常数,只需将递推公式中的an转化

Sn-Sn-1后再变形,便可达到目的。

     6.已知数列{an}中,an-an-1=2(n2), a1=1,则这个数列的第10项为( 

        A  18       B 19       C 20       D21

     7.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为(   

        A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1

     8.已知mp为常数,设命题甲:abc成等差数列;命题乙:ma+p mb+p mc+p

成等差数列,那么甲是乙的(  

A 充分而不必要条件    B 必要而不充分条件

C 充要条件            D既不必要也不充分条件

9.(1)若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(bc),a15=       

  2)首项为-12的等差数列从第8项开始为正数,则公差d的取值范围是      

  3)在正整数100500之间能被11整除的整数的个数是      

10.已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。

11.设数列{an}的前nSn=n2+2n+4(nN*)

(1)   写出这个数列的前三项a1,a2,a3;

(2)   证明:除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。

     12.已知两个等差数列5811…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个共同的项?

     13.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可以组成首项为 的等到差数列,求a+b 的值。

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