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下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

2022-10-09高一数学教案

(第一课时)

一、教学目标 

1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;

2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;

3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;

4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识.

二、教学重点  平面向量的数量积概念、性质及其应用

教学难点   平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解.

三、教学具准备

直尺,投影仪

四、教学过程 

1.设置情境

师:我们学过功的概念:即一个物体在力 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功: ,其中 表示一个什么角度?

表示力 的方向与位移 的方向的夹角.

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量 、 ,来规定 的含义。

2.探索研究

(l)已知两个非零向量 和 ,在平面上任取一点 ,作 , ,则 叫做向量 与 的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗?

① 与 的夹角为 ,② 与 的夹角为 ,③ 与 的夹角是 ,④ 与 的夹角是 .

(2)下面给出数量积定义:

师:(板书)已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ,叫做向量 与 的数量积或(内积)记作 即

并规定

师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别.

生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量.

师:你能从图中作出 的几何图形吗? 表示的几何意义是什么?

生:如图,过 的终点 作 的垂线段 ,垂足为 ,则由直角三角形的性质得:

所以 叫做向量 在向量 上的投影, 叫做 在 上的投影.

师:因此我们得到 的几何意义:向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积.

注意:1°投影也是一个数量,不是向量。

2°当q为锐角时投影为正值;

当q为钝角时投影为负值;

当q为直角时投影为0;

当q =0°时投影为 |b|;

当q =180°时投影为 -|b|。

向量的数量积的几何意义:

数量积a×b等于a的长度与ba方向上投影|b|cosq的乘积。

(3)下面讨论数量积的性质:

(每写一条让学生动手证一条)设 , 都是非零向量, 是与 的方向相同的单位向量, 是 与 的夹角,则

③当 与 同向时, ,当 与 反向时, 。

特别地

3.演练反馈(投影)

(通过练习熟练掌握性质)

判断下列各题是否正确

(1)若 ,则对任意向量 ,有    (    )

(2)若 ,则对任意非零量 ,有 (    )

(3)若 ,且 ,则           (    )

(4)若 ,则 或             (    )

(5)对任意向量 有                  (    )

(6)若 ,且 ,则          (   )

参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×.

4.总结提炼

(l)向量的数量的物理模型是力的做功.

(2) 的结果是个实数(标量)

(3)利用 ,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。

(4)二向量夹角范围 .

(5)五条属性要掌握.

五、板书设计 

   课题

1.“功”的抽象

2.数量积的定义

3.(5)条性质

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

 

4.演练反馈

5.总结提炼

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