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高一数学上册知识点整理--指数函数、函数奇偶性

2022-10-09高一数学教案

指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
  如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
  可以看到:
  (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
  (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
  (3)函数图形都是下凹的。
  (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
  (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
  (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,永不相交。
  (7)函数总是通过(0,1)这点。
  (8)显然指数函数无界。

奇偶性
  注图:(1)为奇函数(2)为偶函数
  1.定义
  一般地,对于函数f(x)
  (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
  (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
  (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
  (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
  说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
  ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
  (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
  ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征:
  定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
  f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
  点(x,y)→(-x,-y)
  奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
  偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
  3.奇偶函数运算
  (1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
  (2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
  (3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
  (4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
  (5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
  (6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

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