正多边形的有关计算

教学设计示例1

教学目标：

（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

教学重点:

把问题转化为解直角三角形的问题.

教学难点:

正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

教学活动设计:

（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

1、情境一：给出图形.

问题1：正n边形内角的规律.

观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于 .）

2、情境二：给出图形.

问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

教师引导学生观察，学生回答.

观察：三角形的形状，三角形的个数.

归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

3、情境三：给出图形.

问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

（二）定理、理解、应用：

1、定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距r_n，另一条直角边是正n边形边长a_n的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

3、应用：

例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P₆和面积S₆.

教师引导学生分析解题思路：

n=6 =30°，又半径为R a₆ 、r₆. P₆、S₆.

学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.

∵∠GOB=，

∴a₆ =2·Rsin30°=R，

∴P₆=6·a₆=6R，

∵r₆=Rcos30°=，

∴ .

归纳：如果用P_n表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S₆=P_n r_n.

4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

学生以小组进行研究，并初步归纳：

； ； ； ；

； .

上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

（三）小节

知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

思想：转化思想.

能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力.

（四）作业 

归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.
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