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函数及其表示、解析式(学生学案)

2022-10-09高一数学教案

知识结构:
1.函数的基本概念
(1)函数的定义:设a、b是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数,记作:y=f(x),x∈a.
2.映射的概念
一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:a→b为从集合a到集合b的一个映射.
3.分段函数与复合函数
①如果一个函数在定义域的不同子集中  因  对应关系  不同而用几个不同的式子来表示,这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出  解析式 再组合在一起,但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②如果y=f(u),u=g(x),那么函数y=f[g(x)]叫做复合函数,其中f(u)叫做外层  函数,g(x)叫做  内层 函数。
基础训练:
1.下列各对函数中,表示同一函数的是(  ).
a.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x                b.f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)
c.f(u)= ,g(v)=         d.f(x)=()2,g(x)=
2.设函数 ,则 =________.

3.设集合 , ,从 到 有四种对应如图所示:

其中能表示为 到 的函数关系的有_____ ____.
4.已知函数 是一次函数,且 , ,则 __ __.
5.设函数 , ,则 _________; __________.
6.设函数 , ,则 ___________; ____; ____.
7.(1) , , ;
(2) , , ;
(3) , , .
上述三个对应__________________是 到 的映射.
例题选讲:
例1:判断下列对应是否是从集合a到集合b的映射:
(1)a=r,b={x|x>0},f:x→|x|;  (2)a=n,b=n,f:x→|x-2|; (3)a={x|x>0},b=r,f:x→x2.
 
 
 
 
例2:设有函数组:① , ;② , ;③ , ;④ , .其中表示同一个函数的有_________
 
 
 
 
例3:(1)已知f=lg x,求f(x);
(2)已知函数 ,求 ;
(3)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的表达式.
(4)已知f(x)+ 2f()=2x+1,求f(x).
 

例4
例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km,甲10时出发前往乙家.如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系.试写出 的函数解析式.
 
 
例5.矩形 的长 ,宽 ,动点 、 分别在 、 上,且 ,(1)将 的面积 表示为 的函数 ,求函数 的解析式;
(2)求 的最大值.
 
巩固作业:
a组:
一、选择题:
1.下列函数中,与函数 相同的函数是  (    )
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2.已知集合 ,映射 ,在 作用下点 的象是 ,则集合                                                                   (    )
                     
二、填空题:
3.给定映射 ,点 的原象是 _______ .
4.设有函数组:① , ;② , ;③ , ;④ , ;⑤ , .其中表示同一个函数的有___ ___.
5.已知 ,且 ,则m等于________.
6.已知a,b为常数,若 , ,则 _______.
 
第8题
7.设f(x)= ,则f[f( )]=_____________.
8.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________.
三、解答题:
9. 已知函数 与 分别由下表给出:

(1)求 的值;     (2)若 2时,求 的值;
 
 
10.下列从m到n的各对应法则中,哪些是映射?哪些是函数?哪些不是映射?为什么?
(1)m={直线ax+by+c=0},n=r,f1:求直线ax+by+c=0的斜率;
(2)m={直线ax+by+c=0},n={α|0≤α<π},f2:求直线ax+by+c=0的倾斜角;
(3)当m=n=r,f3:求m中每个元素的正切;
(4)m=n={x|x≥0},f4:求m中每个元素的算术平方根.
 
 
11.(1)已知 ,求 ;
(2)已知 ,求 ;
(3)已知 是一次函数,且满足 ,求 ;
(4)已知 满足 ,求 .
(5)已知 ,求 的解析式
 
 
12.已知二次函数 的最小值等于4,且 ,求 的解析式.
 
 
b组:
一、选择题:
1.(·陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(  ).
a.y=  b.y=      c.y=    d.y=
2.(·辽宁)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(  ).
a.[-1,2]  b.[0,2]  c.[1,+∞)  d.[0,+∞)
二、填空题:
3. (·江苏)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
4. 函数 ,其中p,m为实数集r的两个非空子集,又规定 , ,给出下列四个命题:
    ①若 ,则     ②若 ,则
    ③若 ,则     ④若 ,则
    其中真命题的序号有____ __.
5. 设集合 对任意实数x恒成立},则下列结论中:
①p q  ;②q p;③p=q;④p q= .其中正确结论的序号有______ ______.
三、解答题:
6.已知函数 与 的图像关于点 对称,求 的解析式.
 

7.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.求函数g(x)的解析式.
 

8.(1)设 ,求函数 的解析式;(2)已知 ,求函数 的解析式.

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