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1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

2022-10-09高一数学教案

1、3、1  柱体、锥体、台体的表面积与体积

 

小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔,在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中,胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔,真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,塔底边长230米,塔高146.5米,你能计算建此金字塔用了多少石块吗?

要求: 新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求,按通常的理解是会求体积和面积,以及很简单的应用即可.一、【学习目标】1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆),    提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意   识,增加学生学习数学的兴趣;2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,  培养学生转化、化归以及类比的能力.【教学效果】:教学目标的出示,有利于学生们把握整体的课堂学习.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材23—25页内容,回答问题(柱、锥、台表面积)<1>在初中,我们已经学习了正方体和长方体   的表面积,以及它们的展开图,你知道上  述几何体的展开图与其表面积的关系吗?<2>棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?<3>如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?<4>联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r,母线长为 ,你计算出它的表面积吗?结论:<1>正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的表面积就是各个面的面积的和.因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积.<2>棱柱的侧面展开图是平行四边形,其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.<3>它们的表面积等于侧面积与底面积的和,利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积,由于底面是圆面,其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中,圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道,圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此,圆柱的表面积s=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么它的表面积s=πr2+πrl=πr(r+l).<4>圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积,即. 思考:圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系?练习一:完成教材例1、例2,体会例1、2所蕴含的解题技巧;‚完成教材第27页练习1;ƒ把一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则所有小正方体的表面积是    .3页,当前第1123【教学效果】:学生们的学习效果不错,对于圆台的表面积公式的推导,我做了这样的处理:只是提示推导过程,而没有在课堂上一步一步的推导.2、阅读教材第25—27页内容,回答问题(柱、锥、台体积)<5>回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式,你能将它们统一成一   种形式吗,并依次类比出柱体的体积公式吗?椎体呢?<6>比较柱体、锥体、台体的体积公式:v柱体=sh(s为底面积,h为   柱体的高);v锥体= (s为底面积,h为锥体的高);v台体    = h(s′,s分别为上、下底面积,h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗?柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体?其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特   殊”形式?结论:<5>棱长为a的正方体的体积v=a3=a2a=sh;长方体的长、宽和高分别为a,b,c,其体积为v=abc=(ab)c=sh;底面半径为r高为h的圆柱的体积是v=πr2h=sh,可以类比,一般的柱体的体积也是v=sh,其中s是底面面积,h为柱体的高.圆锥的体积公式是v= (s为底面面积,h为高),它是同底等高的圆柱的体积的 .棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 ,即棱锥的体积v=  (s为底面面积,h为高).由此可见,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是底面面积乘高的 .由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,得到圆台(棱台)的体积公式v= (s′+ +s)h,其中s′,s分别为上、下底面面积,h为圆台(棱台)高.注意:不要求推导公式,也不要求记忆.<6>柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当s′=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式;当s′=s时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.    柱体和锥体可以看作由台体变化得到,柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此很容易得出它们之间的体积关系,如图:

练习二:完成教材26页例3,体会例3中蕴含的解题技巧;‚完成教材27页练习2;ƒ把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积;已知三棱锥o-abc中,oa、ob、oc两两垂直,oc=1,oa=x,ob=y,且x+y=4,则三棱锥体积的最大值是      ;④已知正三棱台(上、下底面是正三角形,上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上下底面边长分别是2cm和4cm,侧棱长是 cm,试求该三棱台的表面积与体积;④:一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为        (根据三视图,可知该几何体是三棱锥,图12所示为该三棱锥的直观图,并且侧棱pa⊥ab,pa⊥ac,ab⊥ac.结果:1/6)

【教学效果】:对于体积公式,推导过程比较繁琐,教材采取了直接给出的模式,教师不要过多的渗入推导,加重学生负担.3页,当前第2123三、【作业】    1、必做题:教材第29页习题1.3a组第1、2、3题;    2、选做题:养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;‚分别计算按这两种方案所建仓库的表面积;ƒ哪个方案更经济些?(比较表面积和体积,体积大、表面积好更实惠经济).四、【小结】    这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积,学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的.五、【教学反思】这节课本来是一课时的内容,但是上课时发现一课时太紧凑,就分为了两课时来讲,第一课时讲表面积,第二课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的,不能为了完成课时任务而增加教学量.对于这节课,学生们的学习效果还是不错的,但是这节课也出现了一些小小的问题.事情是这样的,课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话,由于我在讲课,没有及时的制止,只是目光示意.等我讲到求三角形面积的时候,我说三角形的面积有三种求法,一种是根据两边和夹角的正弦来求面积,另一种是底乘高,那么另外一种是什么?这个同学说高乘底,我没有言语,当时心里面有点儿生气,但是后来他又说了一遍,班里面的同学有点儿笑,由于是课堂,这种现象是不应该出现的,但是我不想伤害学生的自尊心,就说底乘高和高乘底是一样的,这不能算作两种方法,就这样解了围.等我讲完课,还有将近十分钟的时间,我让学生做作业,或者往后面预习也可以,当我转到后面的时候这个同学问我:老师我做什么啊?我说:做作业啊!这个同学说我没有作业本了.我一听,有点儿蒙,说:昨天 不是刚发的作业本吗?这个同学说:我作业本刚刚交上了.由于昨天晚上学生们活动,所以有一部分同学的作业没有交,所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说,你可以先往后面预习一下,这个同学拿出课本,说:预习什么?我有点儿发火,但是没有流露出来,道:往后面预习,预习体积.这个同学坐下了,这时有同学问题,正在给同学辅导,这个同学突然大声道:老师,我想去厕所!当时我一下子火了,把粉笔往地上一摔......其实自己心里面觉得很难受,不想发火,但是还是发火了.不找别人的原因,先找找自己的原因,我觉得恰当的处理应该是下课时找他谈一谈,但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的注意,并没有太大的恶意,而我却伤害了这个学生的自尊心;或许这个学生真的是想上厕所,没有什么恶意,但是我伤害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的,但是还是没有克制住,这一点,我要汲取教训,不能再犯.以后,我要汲取这个教训,一定不能伤害学生的自尊心.可以说,这一节课因为这一个发火,一节本来成功的课,变成了失败的课.很愧疚.3页,当前第3123

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