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子集、全集、补集

2022-10-09高一数学教案

教学目标 

(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;
(2)了解全集、空集的意义,
(3)掌握有关的符号及表示方法,会用它们正确表示一些简单的集合,培养学生的符号表示的能力;
(4)会求已知集合的子集、真子集,会求全集中子集在全集中的补集;
(5)能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来,培养学生的数学结合的数学思想;
(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.

教学重点子集、补集的概念

教学难点 弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具:幻灯机

教学过程 设计

(一)导入  新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.

【提出问题】(投影打出)

已知 ,问:

1.哪些集合表示方法是列举法.
2.哪些集合表示方法是描述法.
3.将集M、集从集P用图示法表示.
4.分别说出各集合中的元素.
5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来.
6.集M中元素与集N有何关系.集M中元素与集P有何关系.

【找学生回答】

1.集合M和集合N;(口答)
2.集合P;(口答)
3.(笔练结合板演)

4.集M中元素有-1,1;集N中元素有-1,1,3;集P中元素有-1,1.(口答)
5. (笔练结合板演)
6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.(口答)

【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系,而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现,本节将研究有关两个集合间关系的问题.

(二)新授知识

1.子集
(1)子集定义:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。
记作:    读作:A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作:A B或B A.
性质:① (任何一个集合是它本身的子集)
(空集是任何集合的子集)

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.
因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全体元素组成的.空集也是B的子集,而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到,把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.

(2)集合相等:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
例: ,可见,集合 ,是指A、B的所有元素完全相同.

(3)真子集:对于两个集合A与B,如果 ,并且 ,我们就说集合A是集合B的真子集,记作: (或 ),读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集:“如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.”
集合B同它的真子集A之间的关系,可用文氏图表示,其中两个圆的内部分别表示集合A,B.

【提问】

(1) 写出数集N,Z,Q,R的包含关系,并用文氏图表示。
(2) 判断下列写法是否正确
A  ② A  ③   ④A A

性质:

(1)空集是任何非空集合的真子集。若 A ,且A≠ ,则 A;
(2)如果 ,则 .
例1  写出集合 的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解:集合 的所有的子集是 ,其中 的真子集.

【注意】(1)子集与真子集符号的方向。

       (2)易混符号

①“ ”与“ ”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如 R,{1} {1,2,3}
②{0}与 :{0}是含有一个元素0的集合, 是不含任何元素的集合。
                如: {0}。不能写成 ={0}, ∈{0}

例2 见教材P8(解略)

例3  判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.

(1) 表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3) 不是
(4) 的所有子集是
(5)如果 ,那么B必是A的真子集;
(6) 不能同时成立.
解:(1) 不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确;
(2)不正确.空集是任何非空集合的真子集;
(3)不正确. 表示同一集合;
(4)不正确. 的所有子集是
(5)正确
(6)不正确.当 时, 能同时成立.


例4  用适当的符号( , )填空:

(1)
(2)
(3)
(4)设 ,则A    B     C.

解:(1)0     0     
(2)
(3)   ∴
(4)A,B,C均表示所有奇数组成的集合,∴ABC.

【练习】教材P9

用适当的符号( , )填空:
(1)    ;          (5)   
(2)    ;      (6)   
(3)    ;      (7)   
(4)    ;     (8)    .

解:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5)=;(6) ;(7) ;(8) .

提问:见教材P9例子

(二) 全集与补集

1.补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作 ,即

.

A在S中的补集 可用右图中阴影部分表示.

性质: SSA)=A

如:(1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},则 SA={2,4,6};
(2)若A={0},则 NA=N*
(3) RQ是无理数集。

2.全集:

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用 表示.

注: 是对于给定的全集 而言的,当全集不同时,补集也会不同.
例如:若 ,当 时, ;当 时,则 .

例5  设全集 ,判断 之间的关系.

解:∵

练习:见教材P10练习

1.填空:

,那么 .

解:

2.填空:

(1)如果全集 ,那么N的补集
(2)如果全集, ,那么 的补集 )=         .
解:(1) ;(2) .

(三)小结:本节课学习了以下内容:

1.五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集,其中子集、补集为重点)
2.五条性质
(1)空集是任何集合的子集。Φ A
(2)空集是任何非空集合的真子集。Φ A  (A≠Φ)
(3)任何一个集合是它本身的子集。
(4)如果 ,则 .
(5) SSA)=A

3.两组易混符号:(1)“ ”与“ ”:(2){0}与

(四)课后作业 :见教材P10习题1.2

(五)板书设计 

课题

一、知识点

(一)

(二)

例题:

 
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