4.10 正切函数的图象和性质
第一课时
(一)教学具准备
直尺、投影仪.
(二)教学目标
1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图.
2.掌握正切函数的性质及其应用.
(三)教学过程
1.设置情境
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好研究其性质,我们首先讨论 的作图.
2.探索研究
师:请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的.
生:在单位圆上取终边为 (弧度)的角,作出其正弦线 ,设 ,在直角坐标系下作点 ,则点 即为 图像上一点.
师:这位同学讲得非常好,本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像.
(1)用正切线作正切函数图像
师:首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?
生:∵
∴ 是周期函数, 是它的一个周期.
师:对,我们还可以证明, 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,下面我们利用正切线画出函数 , 的图像.
作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.
②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线.
③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份).
④找纵坐标,正切线平移.
⑤连线.
图1
根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 , 且 ( )的图像,并把它叫做正切曲线(如图1).
图2
(2)正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.
①定义域:
②值域
由正切曲线可以看出,当 小于 ( )且无限亲近于 时, 无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 , 无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说, 可以取任何实数值,但没有最大值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集 .
③周期性
正切函数是周期函数,周期是 .
④奇偶性
∵ ,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点 对称.
⑤单调性
由正切曲线图像可知:正切函数在开区间( , ), 内都是增函数.
(3)例题分析
【例1】求函数 的定义域.
解:令 ,那么函数 的定义域是
由 ,可得
所以函数 的定义域是
【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:
(1) 与 ;
(2) 与 .
解:(1)∵
又 ∵ ,在 上是增函数
∴
(2)∵
又 ∵ ,函数 , 是增函数,
∴ 即 .
说明:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内,利用 的单调递增性来解决.
3.演练反馈(投影)
(1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是( )
A. B. C. D.与 值有关
(2) 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
参考答案:
(1)C.注: 与 相邻两点之间距离即为周期长
(2)D.注:由 ,但 ,反之 ,但
(3)①
②
4.总结提炼
(1) 的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得 上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
(2) 性质.
定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调增区间 | 对称中心 | 渐近线方程 |
奇函数 |
| , |
(四)板书设计
课题…… 1.用正切线作正切函数图像 2.正切函数的性质 | 例1 例2 演练反馈 | 总结提炼 |