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第二册不等式证明

2022-10-09高一数学教案

目的:以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。<?xml:namespace prefix =o ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

过程:

一、复习:

1.不等式的一个等价命题

2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断——结论

二、作差法:(P1314

1. 求证:x2 + 3 > 3x

    证:∵(x2 + 3) - 3x =<?xml:namespace prefix =v ns ="urn:schemas-microsoft-com:vml" />

        x2 + 3 > 3x

2. 已知a, b, m都是正数,并且a < b,求证:

   证:

a,b,m都是正数,并且a<b,∴b + m > 0 ,  b - a > 0

    即:

         变式:若a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断?

3. 已知a, b都是正数,并且a ¹ b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

   证:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)

=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

a, b都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a ¹ b,∴(a - b)2 > 0   (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0

即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m ¹ n,问:甲乙两人谁先到达指定地点?

解:设从出发地到指定地点的路程为S

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2

则:   可得:

S, m, n都是正数,且m ¹ n,∴t1 - t2 < 0   即:t1 < t2

从而:甲先到到达指定地点。

变式:若m =n,结果会怎样?

  三、作商法

5. a, b Î R+,求证:

   证:作商:

a =b时,

       a > b > 0时,

       b > a > 0时,

(其余部分布置作业 )

作商法步骤与作差法同,不过最后是与1比较。

四、小结:作差、作商

五、作业 : P15   练习

           P18   习题6.3  14

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