教学目的：
1 掌握平面向量数量积运算规律；
2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质
教学过程：
一、复习引入：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
3.“投影”的概念：作图
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
5.两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos；2 = 0
3当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或
4cos = ；5| | ≤ | || |
6.判断下列各题正确与否：
1若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 ( √ )
2若 ，则对任一非零向量 ，有 0 ( × )
3若 ， = 0，则 = ( × )
4若 = 0，则 、 至少有一个为零 ( × )
5若 ， = ，则 = ( × )共4页，当前第1页1234
6若 = ，则 = 当且仅当 时成立 ( × )
7对任意向量 、 、 ，有( ) ( ) ( × )
8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1.交换律： =
证：设 ， 夹角为，则 = | || |cos， = | || |cos
∴ =
2.数乘结合律：( ) = ( ) = ( )
证：若 > 0，( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos，
若 < 0，( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos，
( ) = | || |cos，
( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos
3.分配律：( + ) = c +
在平面内取一点o，作 = , = ， = ，
∵ + （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，
即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
∴| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
∴ ( + ) = + 即：( + ) = +
说明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）
（2） • ＝ • ， ≠ ＝
（3）有如下常用性质： 2＝｜ ｜2，
（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2
三、讲解范例：
例1 已知 、 都是非零向量，且 + 3 与7 5 垂直， 4 与7 2 垂直，求 与 的夹角
解：由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②共4页，当前第2页1234
两式相减：2 = 2
代入①或②得： 2 = 2
设 、 的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四边形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，试问四边形abcd是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2
即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①
同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四边形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0
即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述，四边形abcd是矩形
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1 下列叙述不正确的是（ ）
a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律 d • 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°，则( +2 )•( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ）
a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°，则( + )2＝
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ＝
参考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）共4页，当前第3页1234
a 60° b 30° c 135° d 45°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 ＝ -4 的模为（）
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）
a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件
c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、 的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =
6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为60°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
8 设 、 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
9 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2
上述两公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， • ＝－3，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）2＝（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，
∴｜ － ｜＝ .
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 与 的夹角θ(精确到1°)
解：∵（｜ ＋ ｜）2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜ ｜2＋2｜ ｜•｜ ｜cosθ＋｜ ｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，
∴cosθ＝ ，∴θ≈55°
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