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2.3 函数的单调性(第二课时)

2022-10-09高一数学教案

教学目的:1.. 巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法.2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点:熟练证明函数单调性的方法和步骤.教学难点:单调性的综合运用一、复习引入:1.有关概念:增函数,减函数,函数的单调性,单调区间.2.判断证明函数单调性的一般步骤:(区间内)设量,作差(或比),变形,比较,判断.二、讲解新课:1.函数单调性的判断与证明例1.求函数 的单调区间.2.复合函数单调性的判断对于函数 和 ,如果 在区间 上是具有单调性,当 时, ,且 在区间 上也具有单调性,则复合函数 在区间 具有单调性的规律见下表:增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.证明:①设 ,且 ∵ 在 上是增函数,∴ ,且 ∵ 在 上是增函数,∴ .所以复合函数 在区间 上是增函数。②设 ,且 ,∵ 在 上是增函数,∴ ,且 ∵ 在 上是减函数,∴ .所以复合函数 在区间 上是减函数。③设 ,且 ,∵ 在 上是减函数,∴ ,且 ∵ 在 上是增函数,∴ .所以复合函数 在区间 上是减函数。④设 ,且 ,∵ 在 上是减函数,∴ ,且 ∵ 在 上是减函数,∴ .所以复合函数 在区间 上是增函数。例2.求函数 的值域,并写出其单调区间。解:题设函数由 和 复合而成的复合函数,函数 的值域是 ,    在 上的值域是 .故函数 的值域是 .对于函数的单调性,不难知二次函数 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数;二次函数 区间 上是减函数,在区间 上是增函数。当 时, ,即 , 或 .当 时, ,即 , .

x

[-1,0]

(0,1)

u=g(x)

减y=f(u)

增y=f(g(x))

减综上所述,函数 在区间 、 上是增函数;在区间 、 上是减函数。三、课堂练习:课本p60练习:3,4四、作业:    课本p60 习题2.3 6(2),7              补充,已知:f (x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围.

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