(一)教学具准备
直尺、投影仪.
(二)教学目标
1.掌握由 的变化过程,理解由 到 的变换步骤.
2.利用平移、伸缩变换方法,作函数 图像.
(三)教学过程
1.设置情境
师:上节课,我们学习了如何由 的图像通过变换得到 和 的图像,请同学复述一下变换的具体过程.
生:将 的图像通过振幅变换便得到 的图像
将 的图像通过周期变换就得到 的图像
师:今天这节课,我们将继续学习如何由 的图像通过变换手段分别得到 及 的图像,(板书课题:函数 和 的图像)
2.探索研究
(1)如何由 的图像通过变换得到 的图像
【例1】画出函数 , , , 的简图
师:由上一节画余弦函数的图像可知,函数 , 的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到.
同学们能否用类比的方法由 的图像得到 和 的图像.
生:从 的图像向左平移 个单位长度而得到 ,即 的图像得到启发,我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度,就可以得到 的图像,如把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度,就可以得到 的图像.
函数 ,
,
,
在一个周期内的图像如图1所示:(用叠放投影胶片,依次叠放三个函数图像)
师:我们已经学过并且知道 与 图像是一种左、右平移关系,从例1中你能得到 与 的图像之间的联系吗?
生:函数 , (其中 )的图像可以看做把 的图像上所有的点向左(当 时)或向右(当 时)平行移动 个单位长度而得到的,这种变换叫做平移变换.
(2)如何由 的图像通过变换得到 的图像
【例2】画出函数 , 的简图.
解:函数 的周期 ,我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图.
列表
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0 |
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0 | 3 | 0 | -3 | 0 |
描点,连线得图2
利用函数的周期性,我们可以把它在 上的简图向左、右分别扩展,从而得到它的简图.(用依次叠放投影片的方法投影展示上图)
师:函数 , 的图像,可以看作用下面的方法得到:先将 上所有的点向左平移 个单位长度,得到函数 , 的图像;再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 , 的图像;再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),从而得到函数 , 的图像.
师:我们已经知道函数 与 是一种延 轴方向上的伸缩变换,从例2中你能得到 与 的图像之间的联系吗?
生:函数 , (其中 , )的图像,可以看作用下面的方法得到:先把正弦曲线上所有的点向左(当 时)或向右(当 时)平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)到原来的 倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当 时)或缩短(当 时)到原来的 倍(横坐标不变).
我们小结一下上述步骤如下:
师:其步骤流程图如下:
这一过程体现了由简单到复杂,特殊到一般的化归思想.
函数 , (其中 , )的简图,可以用类似方法画出.
(3) 、 、 的物理意义
当函数 , (其中 , )表示一个振动量时, 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常称为这个振动的振幅.
往复振动一次所需要的时间 ,称为这个振动的周期;单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率.
称为相位; 时的相位 称为初相.
3.演练反馈(投影)
(1)要得到函数 图像,只需将 的图像( )
A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
(2)函数 的一个周期内图像如图3.
则 的表达式
A.
B.
C.
D.
(3)把函数 的图像向左平移 个单位,再把图像上各点的横坐标压缩为原来的 ,所得的解析式为_________.
参考答案:
(1)C.把 右移 ,得
(2)D.因为 ,又 与 比较知,是其左移 而得,即
(3)变换过程如下:第一步得:
第二步得:
4.总结提炼
(1)了解三角函数图像的变化规律和方法,由 ,此步骤只是平移( ,左移 个单位; ,右移 个单位),而由 可由二条思路:
① 即先平移后压缩.
② 即先压缩再平移.
不论哪一条路径,每一次变换都是对一个字母 而言的,如, 的图像向右平移 个单位,得到的应是 ,而不是 ;又 的图像横坐标扩大到原来的2倍,应是 而不是 .
(2)作函数图像的方法有多种,如描点法,五点作图法,根据奇、偶利用对称法等等,平移、变换法只是诸多作图法中一种,它与五点作图法同样重要,希望大家多练习,掌握变换次序上的技巧.
(四)板书设计
课题________ 1.如何由 的图像 作 的图像 例1 2.如何由 的图像 作 的图像 例2 | 变换法作 的图像的流程图 演练反馈 总结提炼 |