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下学期 4.1 角的概念的推广

2022-10-09高一数学教案

教学目标 

1.理解引入大于 角和负角的意义.

2.理解并掌握正、负、零角的定义.

3.掌握终边相同角的表示法.

4.理解象限角的概念、意义及其表示方法.

重点难点

1.理解并掌握正、负、零角的定义.

2.掌握终边相同角的表示法.

教学用具

直尺、投影仪

教学过程 

1.设置情境

设置实例(1)用扳手拧螺母(课件);(2)跳水运动员身体旋转(视频).说明旋转第二周、第三周……,则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法.

2.探索研究

1)正角、负角、零角概念

①一条射线由原来位置 ,绕着它的端点 ,按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角,如图中角 ;把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角,如图中的 ;射线没作任何旋转时,我们认为它这时也形成了一个角,并把这个角规定为零角,与初中所学角概念一样, ,点 分别叫该角的始边、终边、角顶点.

②如果把角顶点与直角坐标系原点重合,角的始边在 轴的正半轴上,这时,角的终边落在第几象限,就称这个角是第几象限角,特别地,如果角的终边落在坐标轴上,就说该角不属于任何象限,习惯上称其为轴上角.

③我们作出 三个角,易知,它们的终边相同。还可以看出, 的终边也是与 角终边重合的,而且可以理解,与 角终边相同的角,连同 在内,可以构成一个集合,记作 .一般地,我们把所有与角 终边相同的角,连同角 在内的一切角,记成 或写成集合 形式.

2)例题分析

【例1】在 间,找出与列列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角(1 ;(2 ;(3 .

解:(1)∵

∴与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;

2)∵

∴与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角;

3

所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角.

总结:草式写在草稿纸上,正的角度除以 ,按通常除去进行;负的角度除以 ,商是负数,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值.

练习:(学生板演,可用投影给题)

1)一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.

2)集合 中,各角的终边都在(     

A. 轴正半轴上,

B. 轴正半轴上,

C. 轴或 轴上,

D. 轴正半轴或 轴正半轴上

解答:(1 2C

【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ,并把 中适合不等式 的元素 写出来:

1 ;(2 ;(3 .

解:(1

中适合 的元素是

      

2

满足条件的元素是

3

中适合元素是

说明:与角 终边相同的角,连同 在内可记为 这里

1 ; (2 是任意角;

3 之间是“+”连接,如 应看做

4)终边相同角不一定相等,但相等的角终边必相同,终边相同的角有无数个,它们彼此相差 的整数倍;

5)检查两角 终边是否相同,只要看 是否为整数.

练习:(学生口答:用投影给出题)

1)请用集合表示下列各角.

间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角.

2)分别写出:

①终边落在 轴负半轴上的角的集合;

②终边落在 轴上的角的集合;

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;

④终边落在四象限角平分线上的角的集合.

解答(1)①

;④

2)①

.

说明:第一象限角未必是锐角,小于 的角不一定是锐角, 间的角,根据课本约定它包括 ,但不包含 .

【例3】用集合表示:

1)第三象限角的集合.

2)终边落在 轴右侧的角的集合.

解:(1)在 中,第三象限角范围为 ,而与每个 角终边相同的角可记为 ,故该范围中每个角适合 ,故第三象限角集合为 .

2)在 中, 轴右侧的角可记为 ,同样把该范围“旋转” 后,得 ,故 轴右侧角的集合为 .

说明:一个角按顺、逆时针旋转 )后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转 )角后,所得“区间”仍与原区间重叠.

3.练习反馈

1)与 的终边相同且绝对值最小的角是______________.

2)若角 与角 的终边重合,则 的关系是___________,若角 与角 的终边在一条直线上,则 的关系是____________.

3)若 是第四象限角,则 是(     ).

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角  D.第四象限角

答案:(1

2

3C

4.总结提炼

判断一个角 是第几象限角,只要把 改写成 ,那么 在第几象限, 就是第几象限角,若角 与角 适合关系: ,则 终边相同;若角 适合关系: ,则 终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系,可首先把它们化为: 这种模式( ),然后只要考查 的相关问题即可.另外,数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

课时作业 

1.在 范围内,找出与下列各角终边相同角,并指出它们是哪个象限角

1 2 3 4

2.写出终边在 轴上的角的集合(用 的角表示)

3.写出与 终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式 的元素 写出来.

4.时针走过3小时20分,则分钟所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.

5.写出终边在直线 上的角的集合,并给出集合中介于 之间的角.

6.角 中的一个角,若角 角有相同始边,且又有相同终边,则角 .

参考答案:

1.(1   2   3   4

2.

3.

4.

5.

6.

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