高三数学第一轮复习讲义空间的距离一.复习目标：1.理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离； 2.掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化.
二.知识要点：1.点到平面的距离： .
2.直线到平面的距离： .
3.两个平面的距离： .
4.异面直线间的距离： .
三.课前预习：1.在 中， ， 所在平面外一点 到三顶点 的距离都是 ，则 到平面 的距离是 （ ） 2.在四面体 中， 两两垂直， 是面 内一点， 到三个面 的距离分别是 ，则 到 的距离是 （ ） 3.已知 矩形 所在平面， ， ，则 到 的距离为 ， 到 的距离为 . 4.已知二面角 为 ，平面 内一点 到平面 的距离为 ，则 到平面 的距离为 .
四.例题分析： 例1.已知二面角 为 ，点 和 分别在平面 和平面 内，点 在棱 上 ， ，（1）求证： ；（2）求点 到平面 的距离；（3）设 是线段 上的一点，直线 与平面 所成的角为 ，求 的长 （1）证明：作 于 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ， 平面 ， 平面 ， ∴ . 解：（2）作 于 ， ∵ 平面 ，∴ ， ∴ ， 是点 到平面 的距离，由（1）知 ， ∴ .∴点 到平面 的距离为 . （2）连接 ，∵ ， 与平面 所成的角为 ， ， ， ∴ ，∵ ， ， 为正三角形， 是 中点，∴ 是 中点，∴ . 小结：求点 到平面 的距离关键是寻找点 到 的垂线段. 共3页，当前第1页123例2.在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ， 分别是 ，与 的中点，点 在平面 上的射影是 的重心 ，（1）求 与平面 所成角的正弦值；（2）求点 到平面 的距离. 解：建立如图的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ，∵ 分别是 ，与 的中点， ∴ ，∵ 是 的重心， ，∴ ， ，，∵ 平面 ， 得 ，且 与平面 所成角 ， ，， ， （2） 是 的中点， 到平面 的距离等于 到平面 的距离的两倍， ∵ 平面 ， 到平面 的距离等于 .小结：根据线段 和平面 的关系，求点 到平面 的距离可转化为求 到平面 的距离的两倍. 例3.已知正四棱柱 , 点 为 的中点，点 为 的中点，（1）证明: 为异面直线 的公垂线； （2）求点 到平面 的距离. 解：（1）以 分别为 轴建立坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ 为异面直线 的公垂线. （2）设 是平面 的法向量，∵ ， ∴ ， ， ， 点 到平面 的距离 . 小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离.
五.课后作业： 班级 学号 姓名 1.已知 正方形 所在平面， ，点 到平面 的距离为 ， 点 到平面 的距离为 ，则 （ ） 2.把边长为 的正三角形 沿高线 折成 的二面角，点 到 的距离是（ ） 3.四面体 的棱长都是 ， 两点分别在棱 上，则 与 的最短距离是（ ） 4.已知二面角 为 ， 角， ，则 到平面 的距离为 .共3页，当前第2页1235.已知长方体 中， ，那么直线 到平面 的距离是 .6.如图，已知 是边长为 的正方形， 分别是 的中点， ， ，（1）求证： ；（2）求点 到面 的距离.
7.在棱长为1的正方体 中， （1）求：点 到平面 的距离；（2）求点 到平面 的距离； （3）求平面 与平面 的距离；（4）求直线 到 的距离.共3页，当前第3页123