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初二数学(上)必知知识点归纳

2022-10-09八年级数学教案

  
因式分解
1. 因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转化.
2.因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.
3.公因式的确定:系数的最大公约数?相同因式的最低次幂.
注意公式:a+b=b+a;   a-b=-(b-a);   (a-b)2=(b-a)2;   (a-b)3=-(b-a)3.
4.因式分解的公式:
(1)平方差公式: a2-b2=(a+ b)(a- b);
(2)完全平方公式:  a2+2ab+b2=(a+b)2,   a2-2ab+b2=(a-b)2.
5.因式分解的注意事项:
(1)选择因式分解方法的一般次序是:一 提取、二 公式、三 分组、四 十字;
(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;
(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;
(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;
(5)因式分解的最后结果要求加以整理;
(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.
7.完全平方式:能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q是完全平方式 ?  ”.
分式
1.分式:一般地,用a、b表示两个整式,a÷b就可以表示为 的形式,如果b中含有字母,式子  叫做分式.
2.有理式:整式与分式统称有理式;即  .
3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义.
4.分式的基本性质与应用:
(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;
(2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;
即 
(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单.
5.分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分式约分前经常需要先因式分解.
6.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式.
7.分式的乘除法法则:   .
8.分式的乘方: .
9.负整指数计算法则:
(1)公式: a0=1(a≠0),   a-n=  (a≠0);
(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;
(3)公式: , ;
(4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1.
10.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母.
11.最简公分母的确定:系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂.
12.同分母与异分母的分式加减法法则:    .
13.含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.5页,当前第112345


14.公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意:字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15.分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程.
16.分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根.
17.分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18.分式方程的应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“验增根”的程序.
数的开方
1.平方根的定义:若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根是x);注意:(1)a叫x的平方数,(2)已知x求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算.
2.平方根的性质:
(1)正数的平方根是一对相反数;
(2)0的平方根还是0;
(3)负数没有平方根.
3.平方根的表示方法:a的平方根表示为 和 .注意: 可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算.
4.算术平方根:正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为 .注意:0的算术平方根还是0.
5.三个重要非负数: a2≥0 ,|a|≥0 , ≥0 .注意:非负数之和为0,说明它们都是0.
6.两个重要公式:
(1)  ; (a≥0)
(2)   .
7.立方根的定义:若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根是x).注意:(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为 ;即把a开三次方.
8.立方根的性质:
(1)正数的立方根是一个正数;
(2)0的立方根还是0;
(3)负数的立方根是一个负数.
9.立方根的特性: .
10.无理数:无限不循环小数叫做无理数.注意:?和开方开不尽的数是无理数.
11.实数:有理数和无理数统称实数.
12.实数的分类:(1) (2)  .
13.数轴的性质:数轴上的点与实数一一对应.
14.无理数的近似值:实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆:       .
三角形
几何a级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1.三角形的角平分线定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图)   几何表达式举例:
(1) ∵ad平分∠bac
∴∠bad=∠cad
(2) ∵∠bad=∠cad
∴ad是角平分线
2.三角形的中线定义:
在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图)

  几何表达式举例:
(1) ∵ad是三角形的中线
∴ bd = cd
(2) ∵ bd = cd
∴ad是三角形的中线

3.三角形的高线定义:5页,当前第212345


从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
(如图)

  几何表达式举例:
(1) ∵ad是δabc的高
∴∠adb=90°
(2) ∵∠adb=90°
∴ad是δabc的高

※4.三角形的三边关系定理:
三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.(如图)

 几何表达式举例:
(1) ∵ab+bc>ac
∴……………
(2) ∵ ab-bc<ac
∴……………

5.等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图)
 几何表达式举例:
(1) ∵δabc是等腰三角形
∴ ab = ac
(2) ∵ab = ac
∴δabc是等腰三角形
6.等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图)

  几何表达式举例:
(1)∵δabc是等边三角形
∴ab=bc=ac
(2) ∵ab=bc=ac
∴δabc是等边三角形
7.三角形的内角和定理及推论:
(1)三角形的内角和180°;(如图)
(2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)
(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图)
※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(1) ∵∠a+∠b+∠c=180°
∴…………………
(2) ∵∠c=90°
∴∠a+∠b=90°
(3) ∵∠acd=∠a+∠b
∴…………………
(4) ∵∠acd >∠a
∴…………………
8.直角三角形的定义:
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图)
  几何表达式举例:
(1) ∵∠c=90°
∴δabc是直角三角形
(2) ∵δabc是直角三角形
∴∠c=90°

9.等腰直角三角形的定义:
两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)

  几何表达式举例:
(1) ∵∠c=90°   ca=cb
∴δabc是等腰直角三角形
(2) ∵δabc是等腰直角三角形
∴∠c=90°   ca=cb

10.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;(如图)
(2)全等三角形的对应角相等.(如图)

几何表达式举例:
(1) ∵δabc≌δefg
∴ ab = ef  ………
(2) ∵δabc≌δefg
∴∠a=∠e   ………

11.全等三角形的判定:
“sas”“asa”“aas”“sss”“hl”. 

12.角平分线的性质定理及逆定理:
(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)到角的两边距离相等的点在角平分线上.
 
13.线段垂直平分线的定义:
垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(如图)

14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理:
(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(如图)
(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)
 
15.等腰三角形的性质定理及推论:
(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图)
(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)
(3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°.(如图)

16.等腰三角形的判定定理及推论:
(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图)
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图)
(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图)5页,当前第312345


 17.关于轴对称的定理
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
18.勾股定理及逆定理:
(1)直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;
(2)如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

 19.rtδ斜边中线定理及逆定理:
(1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;
(2)如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

几何b级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一  基本概念:
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二  常识:
1.三角形中,第三边长的判断:   另两边之差<第三边<另两边之和.
2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若cd⊥ab,be⊥ca,则cd?ab=be?ca.
4.三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和.
5.直角三角形能否成立的条件是:最长边的平方等于另两边的平方和.
6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即:
(1) ac?cb=cd?ab ;  (2)∠1=∠b ,∠2=∠a .
8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.
12.符合“aaa”“ssa”条件的三角形不能判定全等.
13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.
14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“sas”、“asa”、“aas”、“sss”、“hl”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图.
※18.几何重要图形和辅助线:
(1)选取和作辅助线的原则:
①  构造特殊图形,使可用的定理增加;
②  一举多得;
③  聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
④  作辅助线必须符合几何基本作图.

(2)已知角平分线.(若bd是角平分线)
① 在ba上截取be=bc构造全等,转移线段和角;
②  过d点作de‖bc交ab于e,构造等腰三角形 .5页,当前第412345

(3)已知三角形中线(若ad是bc的中线)
① 过d点作de‖ac交ab于e,构造中位线 ;

② 延长ad到e,使de=ad  
连结ce构造全等,转移线段和角;
③  ∵ad是中线                       
∴sδabd= sδadc
(等底等高的三角形等面积)
 
(4) 已知等腰三角形abc中,ab=ac
① 作等腰三角形abc底边的中线ad
(顶角的平分线或底边的高)构造全
等三角形;
 ② 作等腰三角形abc一边的平行线de,构造
新的等腰三角形.

(5)其它
① 作等边三角形abc
一边 的平行线de,构造新的等边三角形;
② 作ce‖ab,转移角;           
③  延长bd与ac交于e,不规则图形转化为规则图形;
④ 多边形转化为三角形;   
⑤ 延长bc到d,使cd=bc,连结ad,直角三角形转化为等腰三角形;
⑥ 若a‖b,ac,bc是角平
分线,则∠c=90°.

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