课程教材研究所 薛彬 《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）的四个领域“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“课题学习”。本书供义务教育九年级上学期使用，全书共需约61课时，具体分配如下：第21章 二次根式 约9课时第22章 一元二次方程 约13课时第23章 旋转 约8课时第24章 圆 约17课时第25章 概率初步 约14课时
一、 教科书内容安排1.二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：（1） 是一个非负数；（2） ≥0）；（3） (a≥0).关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)， (a≥0，b>0)，并运用它们进行二次根式的化简。“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。
2. 一元二次方程学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 ── 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法, 并运用这种方程解决一些实际问题。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，“22.2 降次──解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。
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（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
3.旋转学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。“23.1 旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。“23.2 中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。“23.3 课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系（平移、轴对称、旋转及其组合），灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。
4.圆圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。“24.1 圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。“24.3 正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。“24.4 弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。
5.概率初步将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢？学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。“25.1 概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。“25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。“25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。
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二、本书编写特点（一）注重知识间的联系与综合学生经过初中两年的学习，进一步积累了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”等领域的知识以及学习这些知识的经验。本书内容都是以学生已学内容为基础的。因此本书各章都注意从学生已有的知识和经验出发，帮助学生学好新内容。在“二次根式”一章，教科书注意从算术平方根的意义得到与二次根式有关的结论，注意二次根式的加减与整式的加减，以及二次根式的混合运算与多项式乘法的类比，帮助学生掌握新内容。在“一元二次方程”一章，突出解一元二次方程的关键是将一元二次方程转化为一元一次方程来解。在讲配方法时，用框图的形式展示用配方法实现上述转化的过程，并强调其中的关键步骤是运用。另外，为了加强与因式分解的联系，体现因式分解的作用，专门介绍了用因式分解法解一元二次方程。在“旋转”一章，注意运用已学知识证明有关结论。从学生熟悉的线段、平行四边形出发，引出中心对称图形的概念。本章的第2个数学活动还从坐标的角度揭示了中心对称与轴对称的关系。在“圆”一章，注意运用所学图形变换知识。如从圆是轴对称图形的角度认识与垂直于弦的直径有关的结论；从旋转的角度认识弧、弦、圆心角的关系。这一章也注意了运用已学知识证明有关结论，如证明圆周角与圆心角的关系。在“概率”一章，从频率的稳定值出发引出概率的概念，介绍用频率估计概率的方法，都加强了概率与统计的联系。此外，本书还注意了知识的综合运用，如在“旋转”一章安排了综合运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计的内容。在“圆”一章，圆的有关性质、直线与圆的位置关系等内容的讨论，实际上也是所学知识的综合运用。总之，注意揭示知识之间的联系，易于学生学习和掌握新内容，注意知识的综合运用，有助于学生能力的提高。
（二）注重探索结论本书各章都注意揭示得出结论的过程，加深学生对相关结论的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力。在“二次根式”一章，让学生根据平方根的意义填空，进而得出≥0）以及(≥0)的结论。让学生通过特殊数值的计算体会二次根式的乘除法则规定的合理性。在“一元二次方程”一章，让学生思考各种类型的一元二次方程如何用配方法得解，讨论如何配方。通过设置探究栏目加大了让学生探究解决实际问题的力度。此外，本章中的选学内容“观察与猜想 发现一元二次方程根与系数的关系”也是强调结论的探索过程。在“旋转”一章，旋转的性质，中心对称的性质，在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标有什么关系，这些内容都是让学生进行探究的。此外，本章还安排了许多探索和发现图形之间的变换关系的问题。在“圆”一章，结论较多，也注意体现了结论的探索过程。例如结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过度量，发现圆心角与圆周角的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系等等。
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在“概率”一章，则注意通过解决具体问题获得对概率的理解，掌握用列举法求概率的方法以及用频率估计概率的方法。
（三）注重联系实际1. 从实际出发引入有关内容在本书中，二次根式的概念、二次根式的加减都是从实际问题引出的，体现了式在表示数量关系上的作用。一元二次方程的概念则是通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出的，体现了方程刻画现实世界的作用。旋转的概念则是由时针、叶片等实例引入的，体现了图形变换与实际的紧密联系。在“圆”一章，由赵州桥的主桥拱半径的问题引出垂径定理；由海洋馆中观景问题引出圆周角与圆心角、圆周角之间的关系。概率的概念也是结合掷币试验帮助学生理解的。2. 运用有关内容解决实际问题本书内容与实际联系紧密，在掌握了相关内容以后，又可以运用它们解决实际问题。在本书中，一元二次方程的应用是这方面的一个重点。教科书通过设置探究栏目，解决传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，突出这一重点。圆的内容可以用来解决许多实际问题，求赵州桥的主桥拱半径的问题，求正多边形亭子地基的周长与面积，计算蒙古包的用料都要借助圆的有关知识。概率也有广泛的应用。用列举法可以求出许多实际问题中的概率。还特意安排课题学习的内容，使学生对概率的应用有进一步的体会。
三、几个值得关注的问题（一）把握好教学要求在本书中，既有一元二次方程、圆这样的传统的重要内容，又有概率初步知识这样的新增内容，需要对内容要求有一个很好的把握。在“二次根式”一章，主要是了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，并会用它们进行有关实数的简单四则运算。有些内容，像分母有理化,在课程标准中是明确不作要求的。这样可以突出二次根式概念和运算的重点。在“一元二次方程”一章，主要是让学生能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程。而一元二次方程根与系数的关系只作为选学内容要求。这样可以突出一元二次方程解法和应用的重点。在“旋转”一章，主要是通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；了解平行四边形、圆是中心对称图形；探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。本章涉及的图形不宜过于复杂，重点在于对图形变换的理解。在“圆”一章，主要是对圆及其相关图形的认识，很多内容带有一定的综合性，因此不宜提出过高的要求。本章涉及的证明是从全套书关于推理证明的总体设计安排，是让学生进一步体会推理证明。因此与证明有关的题目的综合性不宜过强，难度不宜过大。概率初步知识是新增内容，也不宜提出过高的要求。主要是让学生在具体情境中了解概率的意义，会用列举法计算简单事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。由于所学内容不多，本章涉及的问题也不宜过于复杂。
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（二）加强信息技术的应用在本书中，对旋转等图形变换以及对圆等图形的认识，比较适合采用信息技术工具。在“旋转”一章中，可以利用计算机中的画图软件探索旋转的性质。再有，利用旋转变换可以进行图案设计，借助计算机则更加方便。此外， 利用计算机中的画图软件可以方便地作出一个图形关于原点o的对称图形。利用软件的度量功能得出坐标,从而发现关于原点对称的点的坐标的关系。在“圆”一章，许多内容可以借助信息技术工具进行研究。例如，有许多计算机软件具有测量功能，可以方便地测出圆周角、圆心角的大小，从而发现它们之间的关系。另外，还可以利用信息技术工具，画出动态的图形，方便直线与圆、圆与圆的位置关系的研究。这些内容在书中都有明确的提示，有条件的同学可以尝试。在本书的教学中，如有条件，应注意发挥信息技术工具的作用。
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