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22.2.1 直接开平方法

2022-10-09九年级数学教案
教学内容
    运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.

    教学目标
    理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
    提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

    重难点关键
    1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
    2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

    教学过程

    一、复习引入
    学生活动:请同学们完成下列各题
    问题1.填空
    (1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.

    问题2.如图,在△abc中,∠b=90°,点p从点b开始,沿ab边向点b以1cm/s的速度移动,点q从点b开始,沿bc边向点c以2cm/s的速度移动,如果ab=6cm,bc=12cm,p、q都从b点同时出发,几秒后△pbq的面积等于8cm2?

    老师点评:
    问题1:根据完全平方公式可得:(1)16  4;(2)4  2;(3)( )2   .
    问题2:设x秒后△pbq的面积等于8cm2
    则pb=x,bq=2x
   依题意,得: x·2x=8
    x2=8
    根据平方根的意义,得x=±2
    即x1=2 ,x2=-2
    可以验证,2 和-2 都是方程 x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
    所以2 秒后△pbq的面积等于8cm2.

    二、探索新知
    上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2 ,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
    老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2
    即2t+1=2 ,2t+1=-2
    方程的两根为t1= - ,t2=- - 4页,当前第11234

    例1:解方程:x2+4x+4=1
    分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
    解:由已知,得:(x+2)2=1
    直接开平方,得:x+2=±1
    即x+2=1,x+2=-1
    所以,方程的两根x1=-1,x2=-3

    例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
    分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
    解:设每年人均住房面积增长率为x,
    则:10(1+x)2=14.4
    (1+x)2=1.44
    直接开平方,得1+x=±1.2
    即1+x=1.2,1+x=-1.2
    所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
    因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
    所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
    解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
    共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

    三、应用拓展

    例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
    分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
    解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
    那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
    把(1+x)当成一个数,配方得:
    (1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56
    x+ =±1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6
    方程的根为x1=10%,x2=-3.1
    因为增长率为正数,
    所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.

    四、归纳小结
    本节课应掌握:
    由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=± ,达到降次转化之目的.

    五、作业:

    一、选择题
    1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是(  ).
      a.p=4,q=2     b.p=4,q=-2     c.p=-4,q=2    d.p=-4,q=-24页,当前第21234
    2.方程3x2+9=0的根为(  ).
      a.3      b.-3      c.±3     d.无实数根
    3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是(  ).
      a.(x- )2= ,x= ±
      b.(x- )2=- ,原方程无解
      c.(x- )2= ,x1= + ,x2=
      d.(x- )2=1,x1= ,x2=-

    二、填空题
    1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
    2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
    3.如果a、b为实数,满足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.

    三、综合提高题
    1.解关于x的方程(x+m)2=n.
    2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边*墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
    (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?
    (2)鸡场的面积能达到210m2吗?
    3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?

    答案:
    一、1.b  2.d  3.b
    二、1.±   2.9或-3  3.-8
    三、
    1.当n≥0时,x+m=± ,x1= -m,x2=- -m.当n<0时,无解
    2.
    (1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,
    依题意,得:x(40-2x)=180    
    整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+ ,x2=10- ;4页,当前第31234
    同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.

    (2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,

    b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.

    3.因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.

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