圆和圆的位置关系

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识.

难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题.

2、教法建议

本节内容需要两个课时.第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质.

（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识；

（2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力；

（3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程.

第一课时

教学目标：

1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；

2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；

3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.

教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.

教学难点：

两圆位置关系及判定.

（一）复习、引出问题

1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

（二）观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.  (图(6))

2、归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.

(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切).

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.

（三）分析、研究

1、相切两圆的性质.

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征.

设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略）

两圆外切 d＝R+r；

两圆内切 d＝R-r (R＞r);

两圆外离 d＞R+r；

两圆内含 d＜R-r(R＞r);

两圆相交 R-r＜d＜R+r.

说明：注重“数形结合”思想的教学.

（四）应用、练习

例1：  如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm.

（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=1 3cm.

例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.

求证：⊙O与⊙B相外切.

证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，

∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点

∴ ，∵∠C=90°且BC=8，

∴ ，

∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ，

∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切.

 练习(P₁₃₈)

（五）小结

知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；

③两圆相切时切点在连心线上的性质.

能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.

思想方法：分类思想、数形结合思想.

（六）作业 

教材P151中习题A组2，3，4题.

第二课时 相交两圆的性质

教学目标

1、掌握相交两圆的性质定理；

2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；

3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；

4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.

教学重点

相交两圆的性质及应用.

教学难点

应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.

教学活动设计

（一）图形的对称美

相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?

（二）观察、猜想、证明

1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形.

2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.

3、证明：

对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成.

已知：⊙O₁和⊙O₂相交于A，B.

求证：Q₁O₂是AB的垂直平分线.

分析：要证明O₁O₂是AB的垂直平分线，只要证明O₁O₂上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O₁A、O₂A、O₁B、O₂B. 

证明：连结O₁A、O₁B、 O₂A、O₂B，∵O₁A=O₁B，

∴O₁点在AB的垂直平分线上.

又∵O₂A＝O₂B，∴点O₂在AB的垂直平分线上.

因此O₁O₂是AB的垂直平分线.

也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

∵⊙O_l和⊙O₂，是轴对称图形，∴直线O₁O₂是⊙O_l和⊙O₂的对称轴.

∴⊙O_l和⊙O₂的公共点A关于直线O₁O₂的对称点即在⊙O_l上又在⊙O₂上.

∴A点关于直线O₁O₂的对称点只能是B点，

∴连心线O₁O₂是AB的垂直平分线.

定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.

（三）应用、反思

例1、已知两个等圆⊙O_l和⊙O₂相交于A，B两点，⊙O_l经O_2。

求∠O_lAB的度数.

分析：由所学定理可知，O₁O₂是AB的垂直平分线，

又⊙O₁与⊙O₂是两个等圆，因此连结O₁O₂和AO₂，AO₁，△O₁AO₂构成等边三角形，同时可以推证⊙O _l和⊙O₂构成的图形不仅是以O₁O₂为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由

∠O_lAO₂＝60°，推得∠O_lAB＝30°.

解：⊙O₁经过O₂，⊙O₁与⊙O₂是两个等圆

∴O_lA=O₁O₂=AO₂

∴∠O₁A O₂=60°，

又AB⊥O₁O₂

∴∠O_lAB =30°.

例2、已知，如图，A是⊙O _l、⊙O₂的一个交点，点P是O₁O₂的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O _l、⊙O₂于M、N。

求证：AM=AN.

证明：过点O_l、O₂分别作O_lC⊥MN、O₂D⊥MN，垂足为C、D，则O_lC∥PA∥O₂D，且AC= AM，AD= AN.

∵O_lP=O₂P ，∴AD=AM，∴AM=AN.

例3、已知：如图，⊙O_l与⊙O₂相交于A、B两点，C为⊙O_l上一点，AC交⊙O₂于D，过B作直线EF交⊙O_l、⊙O₂于E、F.

求证：EC∥DF

证明：连结AB

∵在⊙O₂中∠F=∠CAB，

在⊙O_l中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF.

反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解.

（四）小结

知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.

能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用.

（五）作业   教材P152习题A组7、8、9题；B组1题.

探究活动

问题1：已知AB是⊙O的直径，点O₁、O₂、…、O_n在线段AB上，分别以O₁、O₂、…、O_n为圆心作圆，使⊙O₁与⊙O内切，⊙O₂与⊙O₁外切，⊙O₃与⊙O₂外切，…，⊙O_n与⊙O_n-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的周长分别为C₁、C₂、…、C_n.

(1)当n=2时，判断C_l+C₂与C的大小关系；

(2)当n=3时，判断C_l+C₂+ C₃与C的大小关系；

(3)当n取大于3的任一自然数时，C_l十C₂十…十C_n与C的大小关系怎样?证明你的结论.

提示：假设⊙O、⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的半径分别为r、r_l、r₂、…、r_n，通过周长计算，比较可得（1）C_l+C₂=C；（2）C_l+C₂+ C₃=C；（3）C_l十C₂十…十C_n=C.

问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？

提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转.

2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长

的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转

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