三角形的内切圆

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：三角形内切圆的概念及内心的性质.因为它是三角形的重要概念之一.

难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好.

2、教学建议

本节内容需要一个课时.

（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；

（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学.

教学目标：

1、使学生了解尺规作的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；

2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；

3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动.

教学重点：

三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.

教学难点：

三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.

教学活动设计

（一）提出问题

1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?

2、分析、研究问题：

让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义.

3、解决问题：

例1  作圆，使它和已知三角形的各边都相切.

引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法.

提出以下几个问题进行讨论：

①作圆的关键是什么?

②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?

③这样的点I应在什么位置?

④圆心I确定后半径如何找.

A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成.

完成这个题目后，启发学生得出如下结论： 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个.

（二）类比联想，学习新知识.

1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

2、类比：

3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.

4、概念理解：

引导学生理解及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解.使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义.“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”.

（三）应用与反思

例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心.

求∠BOC的度数

分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数.因为O是△ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1十∠3＝ (∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数.

解：(引导学生分析，写出解题过程)

例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D

求证：DE＝DB

分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4.

从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样考虑到连结BE.于是得到下述法.

证明：连结BE.

E是△ABC的内心

又∵∠1=∠2

∠1=∠2

∴∠1+∠3=∠4+∠5

∴∠BED=∠EBD

∴DE=DB

练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角，并说明三角形的内心是否都在三角形内.

（四）小结

1.教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知?学习时互该注意哪些问题?

2.学生回答的基础上，归纳总结：

(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念.

(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径.

(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.

（五）作业 

教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题；A层学生多做B组3题.

探究活动

问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°.

（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）；

（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）.

提示：（1）由条件可得AC为四边形似的对称轴，存在内切圆，能用折叠的方法找出圆心：

如图2，①以AC为轴对折；②对折∠ABC，折线交AC于O；③使折线过O，且EB与EA边重合.则点O为所求圆的圆心，OE为半径.

（2）如图3，设内切圆的半径为r，则通过面积可得：6r+8r=48，∴r=.

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