用公式解一元二次方程12.1 用公式解一元二次方程（一） —— 初中数学第五册教案

12.1  用公式解一元二次方程（一）<?xml:namespace prefix =o ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

一、素质教育目标

（一）知识教学点：1.使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.

（二）能力训练点：1.通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识.

二、教学重点、难点

1.教学重点：一元二次方程的意义及一般形式.

2.教学难点 ：正确识别一般式中的“项”及“系数”.

三、教学步骤 

（一）明确目标

1.用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程.学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力.

2.现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x²-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题.

板书：“第十二章一元二次方程”.教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣.

（二）整体感知

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中.同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位.

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1.复习提问

（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

（3）什么叫做分式方程？

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫.

2.引例：剪一块面积为150cm²的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x²+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x²＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念.

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程.

一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的.一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”.“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础.一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的.这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断.

3.练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x²；

（2）7x²＋6＝2x（3x＋1）；

（3）<?xml:namespace prefix =v ns ="urn:schemas-microsoft-com:vml" />

（4）6x²＝x；

（5）2x²＝5y；

（6）-x²＝0

4.任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式.

一元二次方程的一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0）.ax²称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数.

一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax²+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解.

5.例1  把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.

6.练习1：教材p.5中1，2.要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价.题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数.

练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项.

8mx-2m-1＝0；（4）（b²＋1）x²-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.

教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化.

（四）总结、扩展

引导学生从下面三方面进行小结.从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？

1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法.

2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项.归纳所学过的整式方程.

3.一元二次方程的意义与一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义.

四、布置作业 

1.教材p.6 练习2.

2.思考题：

1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x²项的方程叫做一元二次方程？”

2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）.

五、板书设计 

六、课后习题参考答案

教材p.6a2.

教材p.6b1、2.

1.（1）二次项系数：ab  一次项系数：c  常数项：d.

（2）二次项系数： m-n  一次项系数：0  常数项：m＋n.

2.一般形式：（m＋n）x²+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次项系数：m＋n，一次项系数：m－n，常数项：p－q.

思考题

（1）不能.如x³＋2x²－4x＝5.

（2）一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3，这样的整式方程叫做一元三次方程.一般形式：ax³＋bx²＋cx＋d＝0（a≠0）.

一元四次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是4，这样的整式方程叫做一元四次方程.一般形式：ax⁴＋bx³＋cx²＋dx＋e＝0（a≠0）.