数学教案－圆

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.

难点：① 圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.

2、教法建议

本节内容需要4课时

第一课时：圆的定义和点和圆的位置关系

（1）让学生自己画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆（一））；

（2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.

第二课时：圆的有关概念

（1）对（A）层学生放开自学，对（B）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；

（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.

第三、四课时：点的轨迹

条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.

第一课时：圆（一）

教学目标 ：

1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；

2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；

3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；

4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.

教学重点：点和圆的关系

教学难点 ：以点的集合定义圆所具备的两个条件

教学方法：自主探讨式

教学过程 设计(总框架)：

一、 创设情境，开展学习活动

1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：

定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.

2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.

从旧知识中发现新问题

观察：

共性：这些点到O点的距离相等

想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？

（1）   圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；

（2）   到定点距离等于定长的点都在圆上.

定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.

3、点和圆的位置关系

问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：

点在圆上d=r；

点在圆内d<r；

点在圆外d>r.

“数”“形”

二、 例题分析，变式练习

练习： 已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.

例1 求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

已知（略）

求证（略）

分析：四边形ABCD是矩形

A=OC，OB=OD；AC=BD

OA=OC=OB=OD

要证A、B、C、D 4个点在以O为圆心的圆上

证明：∵ 四边形ABCD是矩形

∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD

∴ OA=OC=OB=OD

∴ A、B、C、D 4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.

符号的应用（要求学生了解）

证明：四边形ABCD是矩形

    OA=OC=OB=OD

A、B、C、D 4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.

小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.

问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）

练习1 求证：菱形各边的中点在同一个圆上.

（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）

练习2 设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.

(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；

(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；

(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；

(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）

三、 课堂小结

问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：

(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；

(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；

(3)注重对数学能力的培养

四、作业  82页2、3、4.

第二课时：圆（二）

教学目标 

1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。

2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学

生观察、比较、分析、概括知识的能力。

3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识。

教学重点、难点和疑点

1、重点：理解圆的有关概念.

2、难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解.

3、疑点：学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。

教学过程 设计：

（一）阅读、理解

重点概念：

1、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

2、直径：经过圆心的弦是直径.

3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧.

半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

5、同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

（二）小组交流、师生对话

问题：

1、一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？

2、弧分为哪几种？怎样表示？

3、弓形与弦有什么区别？在一个圆中一条弦能得到几个弓形？

4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？

（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难）

（三）概念辨析：

判断题目：

（1）直径是弦（ ） （2）弦是直径（ ）

（3）半圆是弧（ ） （4）弧是半圆（ ）

（5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等（ ）

（7）两个劣弧之和等于半圆（） （8）半径相等的两个半圆是等弧（）

（主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用.）

（四）应用、练习

例1、已知：如图，AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧.

解：一共有6条弧. 、 、 、 、 、 .

（目的：让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）

例2、已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径.求证：AD∥BC.

（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题.锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识.）

巩固练习：

教材P₆₆练习中2题(学生自己完成).

（五）小结

教师引导学生自己做出总结：

1、本节所学似的知识点；

2、概念理解：①弦与直径；②弧与半圆；③同心圆、等圆指两个图形；④等圆和等弧.

3、弧的表示方法.

（六）作业 

教材P₆₆练习中3题，P₈₂习题l(3)、(4).

第三、四课时 圆（三）——点的轨迹

教学目标 

1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；

2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；

3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。

重点、难点

1、重点：对圆点的轨迹的认识。

2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。

教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标 ）

（一）创设学习情境

1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念

（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）

观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）

理解：圆上的点具有两个性质：

 (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)；

(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）

引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）

上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合.因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆.

轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）

（二）类比、研究1

（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）

轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；

轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；

（三）巩固概念

练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：

(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；

(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；

(3)经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹.

（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）

（四）类比、研究2

（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升.这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）

轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.

（五）巩固训练

练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹： 

1.到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；

2.已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹.

（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）

练习题2：判断题

1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线.( )

2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆.( )

3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线.( )

4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线.( )

(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性.题目由学生自主完成、交流、反思)

(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)

（六）理解、小结

（1）轨迹的定义两层意思；

（2）常见的五种轨迹。

（七）作业 

教材P₈₂习题2、6.

探究活动

爱尔特希问题

在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?

分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑.最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.

其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).

最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图).

综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点.

上述问题是大数学家爱尔特希(P.Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形.

当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解.已经证明，时，问题无解.

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