1、 ( 、 )。
2、 ( 、 , )(当且仅当 时取等号)。
3、若 、 、 且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
4、若 、 、 且 ,则 。
5、 。
6、一个重要的均值不等式链:设 ,则有 (当且仅当 时取等号)。
7、若已知条件中含有或隐含着" "或" "这一信息,常常可以设" "用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
8、不等式证明常用的放缩方法:
(1) ;
(2) 。
七、解析几何:
1、两条平行直线 和 之间的距离为 。
2、直线 过定点 ,且点 在圆 内,则 与圆 必相交。
过圆内一点 的弦长,以直径为最大,垂直于 ( 为圆心)的弦为最小。
3、直线在 轴、 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
4、直线过定点 时,根据情况有时可设其方程为 ( 时直线 )应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
5、 已知圆的方程是 和点 ,若点 是圆上的点,则方程 表示过点 的圆的切线方程;若点 在圆外,则方程 表示过点 向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
6、过圆 上一点 的圆的切线方程是:
。
7、圆 和 相交于 、 两点,则直线 为这两圆的"根轴",其方程为 (即为公共弦 所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
8、已知一个圆的直径端点是 、 ,则圆的方程是:
。
9、给一定点 和椭圆: , 、 分别为左右焦点,有如下性质:
(1)若点 在椭圆上,则 , (由椭圆第二定义推出);
(2)若点 在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为: ;
(3)若点 在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为: ;
(4)若点 在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为: ;
补充:直线 与椭圆 相切的充要条件是:
。
10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):
(1)椭圆 的通径长为 ;
(2)双曲线 的通径长为 ;
(3)抛物线 的通径长为 。
11、双曲线的焦半径公式:点 为双曲线 上任意一点, 、 分别为左右焦点
(1)若 在右支上,则 , ;
(2)若 在左支上,则 , 。
12、双曲线标准方程(焦点在 轴或 轴上)的统一形式为 ( ),双曲线 的渐近线方程为 ,也可记作 。
13、过抛物线 的焦点且倾斜角为 的弦 , 时,最短弦长为 ,即为抛物线的通径。
14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:
(1)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;
(2)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线 过定点 ;
(3)过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;
(4)过椭圆 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ,且 (此时弦ab最短), (此时弦ab最长);
(5)过椭圆 的右顶点 作两条相互垂直的弦 ,则弦mn过定点: ;
(6)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线mn过定点: ;
(7)过双曲线 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ;
15、过抛物线 上一点 的焦半径 ;若 、 是过焦点 弦的端点, , 则:
(1) , ;
(2) ;
(3) ( 为直线 与 轴的夹角);
(4)若 、 在准线 上的射影分别为 、 ,则 ;
(5)以焦点弦 为直径的圆与准线 相切,切点为 的中点;共3页，当前第1页123
(6)以焦半径 为直径的圆与 轴相切;
(7)以 为直径的圆与焦点弦 相切,切点为焦点f;
16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线 的对称轴上任意一点 作抛物线的切线,切点分别为 、 ,则直线过定点 。
17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。
18、若双曲线的两条渐近线方程分别为 ,则对应双曲线方程可设为为 为参数)。
19、等轴双曲线的离心率 ;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。
20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。
21、点与圆锥曲线的位置关系:
(1)若点 在抛物线 内部,则 。
若点 在抛物线 外部,则 ;
(2)若点 在 内部,则 。
若点 在 外部,则 ;
(3)双曲线 内的点 (指点在双曲线弧内),满足 ;
双曲线 外的点 (指点在双曲线弧外),满足 。
22、若直线 与二次曲线交于 、 两点,则由:
,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:
其中 (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意 ,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用"点差法")。
23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为 (其中 且 时为椭圆, 时为双曲线)。
24、圆锥曲线的参数方程:
(1)椭圆 的参数方程为 ( 为参数);
(2)双曲线 的参数方程为 ( 为参数);
(3)抛物线 的参数方程为 ( 为参数)。
25、若 为椭圆 上任一点, 、 为焦点, 为短轴的一个端点,则 (证明用到椭圆定义、余弦定理)。
26、与直线 平行的直线系方程为 (参数 );
与直线 垂直的直线系方程为 ( 为参数)。
27、共离心率的椭圆系方程为 ( 为参数)。椭圆的离心率 越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。
28、共渐近线的双曲线系方程为 ( 为参数)。
29、设 是椭圆 上的任意一点(不在长轴上), 、 为左右焦点,则称 为焦点三角形, , , ,该三角形有如下性质:
(1)离心率: ;
(2)面积: ;
(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线 上;
(4)设其内心为 ,连接pi并延长交长轴于点m,则有: ;
(5)当且仅当点p在短轴端点时, 最大, 也最大。
30、设 是双曲线 上的任意一点(不在实轴上), 、 为左右焦点, ,则 的面积为 。
31、椭圆 内接三角形,四边形的面积最大问题
(1)椭圆内接三角形面积的最大值为: (当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);
(2)椭圆内接四边形面积的最大值为: (当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)
32、设m,n为椭圆 上关于原点中心对称的两点,p为椭圆上异于m,n的任意一点,则 。(双曲线中为: )
33、已知两点 、 及直线
(1)若点 、 在直线 的同侧,则 。
(2)若点 、 在直线 的异侧,则 。
34、已知点 、及直线 ,点 关于直线 的对称点为 ,则有 其中
35、在线性规划中,
(1)对形如 型的目标函数,可变形为 , 看做直线在 轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或 (2)对形如 型的目标函数,变形为 的形式,将问题转化为求可行域内的点 与点 连线斜率的 倍的范围;共3页，当前第2页123
(3)对形如 型的目标函数,可化为 的形式,将问题化归为求可行域内的点 到直线 距离的 倍的最值。
36、在圆锥曲线中,求形如 ( 是圆锥曲线内的一点, 是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将 转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。
有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。
37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径共3页，当前第3页123