判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。
2、若函数 既是奇函数又是偶函数,则 恒等于零,这样的函数有无数个。
3、如果点 是原函数图象上的点,那么点 就是其反函数图象上的点。
4、反函数的相关性质:
(1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同;
(2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)
只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件)
(3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外);
(4)周期函数不存在反函数;
(5)若 是连续单调递增函数,则" 与 的图象有公共点" " 的图象与直线 有公共点" "方程 有解";
(6)若 为增函数,则 与 的图象的交点必在直线 上;
(7)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称;
(8)函数 与 的图象关于直线 对称。
5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。
6、 对 恒成立 或 其中 。
7、二次函数的三种表现形式:
(1)一般式 ;
(2)顶点式: 其中 为抛物线顶点坐标;
(3)零点式: 其中 、 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。
8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比:
(1) 在 的定义域上恒成立 ;
(2) 在 的定义域上恒成立 ;
(3) 在 的定义域上有解 ;
(4) 在 的定义域上有解 。
某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。
9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明:
(1)若 恒成立,则m不一定为 的最大值。若 恒成立,则m不一定为 的最小值;
(2)若 恒成立,则 为的最大值,若 恒成立,则 为的最小值。
10、函数 的最小值为 。
11、重要工具函数 的性质:不妨设
(1) 时,函数在区间 上单调递增;
(2) 时,函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增。
12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系:
类型之一:线线型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于直线 与 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。
(2)若函数 为偶函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。
类型之二:点线型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于点 和直线 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是函数 在 上的一个周期。
(2)若函数 为偶函数,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。
(3)若函数 为奇函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。
类型之三:点点型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于相异两点 、 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。
(2)若函数 为奇函数,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。
13、由函数方程推导函数周期的常见类型:
(1)若函数 满足 ,则 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(2)若函数 满足 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。共3页，当前第1页123
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(3)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(4)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(5)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。
(6)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。(过度关系: )
(7)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。(过度关系:
(8)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。
(过度关系: )
(9)若 是函数 的任意一个周期,则 的相反数 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期,且 ,则 也是 的周期。
说明:对于(1)~(5),其代换函数,有如下特点:原函数与反函数相同,代换两次能够还原。如: 都是原函数与反函数相同的函数,即 。可见本章-24。
14、函数图象的自身对称问题:
(1)偶函数的图象关于y轴对称;(轴对称)
(2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称)
(3)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于直线 对称;( ,即:"取平均值",与m的值无关)
(4)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于点 中心对称;
(5)定义在 上的函数 ,若满足 (或 ),则函数 的图象关于点 中心对称。
15、两函数图象间的对称问题:
(1)定义在 上的函数 与函数 的图象关于直线 对称;(其对称轴方程 由 解得,与m的值有关)
(2)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;
(3)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;
(4)特别地:①函数 关于x轴对称的函数为:
②函数 关于y轴对称的函数为:
③函数 关于原点对称的函数为:
④函数 关于 对称的函数为:
⑤函数 关于 对称的函数为:
⑥函数 关于直线 轴对称的函数为: ;
⑦函数 关于直线 轴对称的函数为: ;
⑧函数 关于点 中心对称的函数为: 。
16、若函数 为奇函数,且定义域为 ,则必有 。
若函数 是偶函数,那么 。
17、基本的函数图象变换:
(1)要作 的图象,只须将 的图象向上( 时)或向下( 时)
平移 个单位;
(2)要作 的图象,只须将 的图象向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;
(3)要作 的图象,可先作函数 的图象,然后将 轴上方部分保持不变, 轴下方部分沿 轴对称上翻即可;
(4)要作 的图象,只需保留 在 轴右边的图象(擦去 轴左边的图解),然后将 轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意 是偶函数)。
(5)要作 的图象,只须将 的图象作关于直线 对称,也可以将 的图象先作关于y轴对称,再向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;
18、对称轴的斜率为 时的对称变换:
(1)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(2)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(3)点 关于直线 的对称点为 ;
(4)点 关于直线 的对称点为 。
19、函数 按向量 平移后的函数表达式为: ;
20、判断 符号可以1为分界点,当 在1的同侧( 或 )时, ;当 在1的两侧时, 。可以概括为:"同向为正,异向为负"
21、关于函数 的定义域为 或值域为 的问题:
(1)若其定义域为 ,则须 在 上恒成立,问题等价为:
或 其中 ;共3页，当前第2页123
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&nbs 或 其中 。
22、当且仅当 时,函数 与函数 的图象相切于直线 上的点 。
23、一次分式函数 的相关性质:
(1)定义域: ;
(2)值域: ;
(3)图像:双曲线线;
(4)渐近线: ;
(5)对称中心: ;
(6)单调性:①当 , 单调递减, 单调递减;
②当 , 单调递增, 单调递增;
特别地:当 ,即 时,函数 和其反函数 为同一函数。也即函数 的图像关于直线 对称。
24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题
一般地,形如: ,其中 已知,要求 的解析式,通常的做法为:用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,则可以得到: ,再将此式与原式联立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的关键在于: ,此式说明 必满足,原函数与反函数为同一函数。例如: , , 等。
25、抽象函数中的相关问题
(1)奇偶性的判断
①若 ( ),则 为奇函数;
②若 ( ),则 为奇函数;
③若 ( ),则 为偶函数;
④若 ( ),则 为奇函数;
⑤若 ,则 为偶函数。
(2)单调性的判断
① ;(作差比较函数值)
② 。(作差比较函数值)
26、求函数值域的类型与方法归类
(1)直接法,直接观察,根据式子的结构特征得出值域。
(2)配方法,适用于二次型函数: 。
(3)反函数法,分离x或关于x的表达式,求y的范围,形如: 等形式。
(4)判别式法,适用于二次分式函数: 。
(5)均值不等式法,适用于: ,注意一正二定三相等。
(6)换元法,适用于: ,可令 则 ,转化为二次型。
三角换元法,含 结构的函数中可 。
(7)单调法,利用导数求得函数的单调区间和极值,得到值域。
(8)数形结合法,转化成相应的几何意义,如:距离,斜率,角度等。
27、 , , , 。
28、 , , 共3页，当前第3页123
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