高三数学第一轮复习讲义（58） 2016.12.1

            高三数学第一轮复习讲义（58）直线和平面平行及平面与平面平行 一.复习目标： 1.了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理. 2.了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理.

二.课前预习： 1.已知直线 、 和平面 ，那么 的一个必要不充分的条件是       （  ） ，                       ，   且                     、 与 成等角 2. 、 表示平面， 、 表示直线，则 的一个充分条件是        （  ） ，且                    ，且 ，且                      ，且

3.已知平面 平面 ， 是 外一点，过点 的直线 与 分别交于点 ，过点 的直线 与 分别交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）         或                   

4.空间四边形 的两条对角线 ， ，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是               .答案：（8，12）

三.例题分析： 例1.正方体abcd—a1b1c1d1中. (1)求证：平面a1bd∥平面b1d1c； (2)若e、f分别是aa1，cc1的中点，求证：平面eb1d1∥平面fbd. a1 ab1 bc1 cd1 dgef 证明：(1)由b1b∥dd1，得四边形bb1d1d是平行四边形， ∴b1d1∥bd， 又bd ë平面b1d1c，b1d1 平面b1d1c， ∴bd∥平面b1d1c. 同理a1d∥平面b1d1c. 而a1d∩bd＝d， ∴平面a1bd∥平面b1cd. (2)由bd∥b1d1，得bd∥平面eb1d1. 取bb1中点g，∴ae∥b1g. 从而得b1e∥ag，同理gf∥ad. ∴ag∥df. ∴b1e∥df. ∴df∥平面eb1d1. ∴平面eb1d1∥平面fbd. 说明  要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行. 小结： 例2.如图，已知m、n、p、q分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点. badcpnqm求证：(1)线段mp和nq相交且互相平分；(2)ac∥平面mnp，bd∥平面mnp. 证明：(1) ∵m、n是ab、bc的中点，∴mn∥ac，mn＝ ac. ∵p、q是cd、da的中点，∴pq∥ca，pq＝ ca. ∴mn∥qp，mn＝qp，mnpq是平行四边形. ∴□mnpq的对角线mp、nq相交且互相平分. (2)由(1)，ac∥mn.记平面mnp(即平面mnpq)为α.显然acëα. 否则，若acìα， 由a∈α，m∈α，得b∈α； 共2页，当前第1页12

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由a∈α，q∈α，得d∈α，则a、b、c、d∈α， 与已知四边形abcd是空间四边形矛盾. 又∵mnìα，∴ac∥α， 又ac ëα，∴ac∥α，即ac∥平面mnp. 同理可证bd∥平面mnp. 小结： 例3.已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，点 分别在 和 上，并且 ， 平面 ，求线段 的长. 解：延长 交 延长线于点 ，连 ，可证得 ，由 与 相似及已知求得 .在等腰 中，求出 ，又在 中，由于余弦定理求得 .  ∵ ，∴ ，∴ . 小结：

四.课后作业：                           班级      学号      姓名             1.设线段 是夹在两平行平面 间的两异面线段，点 ， ，若 分别为 的中点，则有         （  ）                                                  2. 是两个不重合平面， 是两条不重合直线，那么 的一个充分条件是（ ） ， ，且 ，    ， ，且 ， ，且             ， ，且 3.在正四棱柱 中， 分别为棱 、 、 、 的中点， 是 的中点，点 在四边形 及其内部运动，则 满足条件         时，有 平面 .（点 在线段 上） 4.在长方体 中，经过其对角线 的平面分别与棱 、 相交于 两点，则四边形 的形状为              .（平行四边形） abcdb1 1d1 c1 1α 1a1 b2 a2 c2 d2 2222β 5.如图，a，b，c，d四点都在平面a，b外，它们在a内的射影a1，b1，c1，d1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影a2，b2，c2，d2在一条直线上，求证：abcd是平行四边形. 证明：∵ a，b，c，d四点在b内的射影a2，b2，c2，d2 在一条直线上， ∴a，b，c，d四点共面. 又a，b，c，d四点在a内的射影a1，b1，c1，d1是平行四边形的四个顶点， ∴平面abb1a1∥平面cdd1c1. ∴ab，cd是平面abcd与平面abb1a1，平面cdd1c1的交线. ∴ab∥cd. 同理ad∥bc. ∴四边形abcd是平行四边形. 6.若一直线与一个平面平行，则过平面内的一点且与这条直线平行的直线必在此平面内. 解：如图，设 ， ， .由 ， ∴它们确定一个平面 ，设 ，可证 ， 在平面 内，过点 存在 ， ， ∴ 与 重合，即 . 7.点 是 所在平面外一点， 分别是 、 、 的重心，求证：（1）平面 平面 ；（2）求 . 证明：（1）如图，分别取 的中点 ， 连结 ， ∵ 分别是 、 、 的重心， ∴ 分别在 上， 且 . 在 中， ，故 ， 又 为 的边 的中点， ，
∴ ，∴ 平面 ，同理 平面 ∴平面 平面 . （2）由（1）知 ， ， ∴ .共2页，当前第2页12

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