----《倒数的认识》课堂教学实录与评析、反思
1.揭示课题
师：今天我们学习倒数的认识。(板书：倒数的认识)你们看了这个课题后，想知道什么？
生1：倒数是什么东西？
师：倒数不是什么东西，而应该是什么知识？(同学们轻轻地笑了)
生2：数怎样倒法？
生3：是不是只有分数有倒数？
师：也就是说，同学们想知道倒数的意义和有关方法。
教师板书：意义、方法。
师：倒数的意义和有关方法课本上都有，我们一看就知道了。重要的是我们在学习中要有自己的发现。我相信你们。
教师板书：发现(用另一种颜色的粉笔写)。
［评析：一上课就揭示课题，开门见山，有利于在一节课的最佳时域直奔重点，突破难点。教师只有确立以学生为本的理念，充分了解学生的学习起点和学习疑难症结，把握学生跳动的脉搏，才能有针对性地下功夫。］
［反思：课始直奔主题，一是可节省教学时间，把更多的时间让给学生去思考、去讨论。二是对本节课的旧知识学生几乎不存在什么计算上的问题。同时，由于是借班上课，我想降低课始的起点，使学生产生安全的心理，全身心投入学习。］
2.初步理解倒数的意义
(1)自学课本。
师：请大家在课本上找到倒数的意义，读一读。
学生打开课本，寻找倒数的意义，用笔划词句。
(2)复述意义。
师：请同学们合上书，谁能说说什么是倒数？
生1：乘积是1……
师：看来只读一遍就要记住有一定的难度，谁再来说说？
生2：乘积是1的两个数互为倒数。
教师板书：乘积是1的两个数----
师：后面是什么，张老师忘了，谁来帮忙？
生3：互为倒数。
教师接着板书：互为倒数。
［评析：教师恰到好处地设置疑问，有利于学生层层深入地思考。同时，高明的教师有时假装糊涂，把“聪明”让给学生，“张老师忘了，谁来帮忙？”短短的话语满足了学生求知探新的成功欲，这是促进学生有效学习的基本策略。这也是张老师课堂教学的一大特点，在下面的教学中还有不少类似的对话。］
(3)初步剖析意义。
师：我们读的时候可以把这句话分成两部分，你认为该怎么读？
生1：乘积是1的两个数/互为倒数。
生2：乘积是1的/两个数互为倒数。
师：这两种读法究竟哪一种读法好？同桌同学讨论一下，并说说你的想法。
生3：乘积是1的两个数/互为倒数。
师：为什么这样读？
生3：这样读很顺。
师：你是怎样读的？
生4：乘积是1的/两个数互为倒数。
师：同意这样读的同学请举手。看来，女同学都支持第一种，男同学都支持第二种。我也支持第二种的读法。
教师边说边板书：条件(在“乘积是1”的下面划上红线)、结论(在“两个数互为倒数”的下面划上红线)。
师：因为有了“乘积是1”的条件，才有“两个数互为倒数”的结论。
［反思：对倒数概念的两种读法，事后细想，还是第一位学生的读法为好，因为“乘积是1”是“两个数”的定语，把它们隔开不好，另外，这句话是省略了“它们”两个字，完整的应是“乘积是1的两个数，它们互为倒数”，前面是条件，后面是结论。］
3.深入探究倒数的意义
(1)示范举例。
师：现在老师写一个算式，大家看看是不是符合这句话的意义？
教师板书：4/5×5/4=1。（生：符合）
师：那你有什么结论？
生：4/5和5/4互为倒数。
教师板书：4/5和5/4互为倒数。
师：在条件前加两个字……
教师板书：因为板书在4/5×5/4=1的前面。
师：有了因为，就有----
学生齐声回答“所以”，教师板书：所以板书在4/5和5/4互为倒数的前面。
师：谁来把条件、结论完整地说一说？
生：因为4/5×5/4=1，所以4/5和5/4互为倒数。
［评析：常常发现六年级学生做作业 写倒数时，用这样的形式表示“2/3=3/2”，误认为等号左边是已知条件的数据，等号右边是所求的结果数据。教师的示范表述在这里显得很有必要，这是规范学生表述的重要环节。］
(2)学生举例。
师：每个学生写一个这样的算式，然后让同桌的同学照样子说一说。(学生练习)
师：你是怎么写的，说说看？
生：因为2/7×7/2=1，所以2/7和7/2互为倒数。
(3)深入剖析意义。
①剖析“互为”的含义。(注：以下几个层次都是以学生为主提出讨论的，教师仅起到穿针引线的作用。小瓣题是在整理课堂实录后另外加上去的。)
师：我们现在对倒数的意义有了一定的理解，不过还不够深入。现在请大家再认真读一读、想一想，你能对这句话中的某个字或某个词理解得更深刻些，向大家解释得更清楚一些吗？
［反思：对于概念的教学，我们的老师大多比较轻视，认为让学生读一二遍记住就达到目的了。其实，这都是表面现象，根本不能促使学生数学思维品质的提高。所以，让学生关注基础知识本身，这是我们数学课不能丢的根本，也是实现新课程提出的三维目标的关键，重要的是让学生在掌握概念的过程中，学会数学思考，体会解决问题所带来的成功体验。］
过了几分钟，陆续有五六位学生举手。
师：已经有同学想来为大家解释了，暂时没有思考出结果的同学不要急，过一会儿在听别人发言的时候，你一定会有所发现的。现在谁来贡献自己的成果？
生：“互为”就是分数的分子与分母是互质数。
师：是这样吗？我刚才看见有一位同学写了这样一个算式：4/6×6/4=1，分数中的4和6就不是互质数啊？但4/6与6/4是互为倒数，说明这位同学理解的'互为'不正确。不过这位同学能联想到以前的旧知识，这是一种学习的方法，你还记得什么叫互质数吗？
生：公约数只有1的两个数是互质数。
教师板书：公约数只有1的两个数是互质数。
［反思：学生提出“互为”就是“互质数”的意思，这是我始料不及的。既然这是学生的直观想法，那我们不能回避，所以我从另一个角度来“表扬”他，因为学生敢回答，就说明他在思考。另外，我们教师的提问，并不都是为了求得正确答案啊！不同的回答，甚至是错误的回答，我们处理好了，这就是教学中一种不可多得的资源。］
师：谁对“互为”有不同的解释？
生：“互为”是互相成为一个关系，互为倒数是指这两个数互相成为倒数关系。
师：你能根据具体的例子说一说吗？
生：4/5是5/4的倒数，5/4是4/5的倒数。
教师板书：就是----
师：哎呀！老师忘了，怎么说？
生：4/5是5/4的倒数，5/4是4/5的倒数。
教师接着板书：4/5的倒数就是5/4，5/4的倒数就是4/5。
教师出示卡片：判断：2和1/2都是倒数。( )
师：谁来判断一下这句话的正误，请说明理由。
生1：错了，1/2倒过来是2/1。
生2：对的，因为2可以化成2/1
师：刚才这两位同学争论的是这两个数的形式，请大家再想一想，判断一句话说得是否正确，应该怎样想？
生3：应根据倒数的意义去判断。
师：说得好。判断一句话的正确与否，主要看实质，不能仅看表面形式。
生3：错了。不能说“都是”，应该说出谁是谁的倒数。
生4：错了，应该是2和1/2互为倒数。
②剖析“乘积是1”的含义。
师：谁再来解释？
生：我想为大家解释“乘积是1”，就是一个数乘一个数。
师：“我想为大家解释”，这位同学非常好，愿意把自己的智慧贡献出来与大家分享。
教师出示卡片：判断：因为1/3+2/3=1，所以1/3和2/3互为倒数。()
生：错了，因为不是乘积是1，而是和是1。
(4)探究求倒数的方法。
师：谁想再解释吗？
生：我想解释4/5的倒数的分子就是4/5的分母，4/5的倒数的分母就是4/5的分子。
师：你的意思就是互为倒数的两个数，分子、分母的----
生：分子、分母的位置对调一下。
教师板书：分子、分母调换位置。
师：你叫什么名字？(生齐说：陈潇雨)你真了不起，有了自己的发现。
教师板书：陈潇雨发现(板书在分子、分母调换位置的后面，用红色粉笔书写)。
教师板书：
师：你对老师画的两个箭头，有什么想法？
生：5/4是4/5的倒数，但4/5也是5/4的倒数，所以不能只画两个箭头。
师：所以，还要----
生：还要画两个箭头。
教师在原来的线上加了两个从右到左的箭头。
师：你叫什么名字？（生齐说：周宇明）
教师板书：周宇明发现(板书在有箭头式子的右边)。
［反思：在原来的教学设计中，求倒数的方法是在后面的，但现在学生提出来了，我就把这个环节提上来了，并从中得到启发，再一次让学生体会“互为”的意思。其实我们只要相信学生，给他们信念，农村孩子的表现照样会令教师意想不到，这就是教学相长。］
(5)探索倒数的特例。
师：谁愿意把自己的智慧继续与大家一起分享？
生1：我想解释“两个数”，就是两个因数。
师：哈！“互为倒数”被别人解释了，“乘积是1”也给别人解释了，只有这“两个数”了。这位同学的发言让大家的注意力集中在“两个数”了。谁有不同的想法？
生2：这两个数是两个分数，不是分数的可以化成分数，是整数的或小数的都可以化成分数。
师：成倒数的两个数中，应该有几个整数？
生3：两个整数，不！不对，应该是一个整数。
师：谁能举个例子？
生4：4×1/4=1。
生5：12×1/12=1。
师：他刚才先说两个整数，有可能吗？
生6：不可能，比如5×5=25。
师：(看见学生举手，想发表不同意见，于是指名回答)你说呢！
生7：那1×1不是等于1吗？确实是两个整数啊。
(对方同学哑口无言，其他同学也很惊讶：哎！1×1是等于1。)
师：那你是什么意思？
生7：乘积是1的两个数互为倒数(1除外)。
师：请大家找一找，课本上这句话的旁边有'1除外'吗？
(学生打开课本，没有这句话。)
师：1×1=1符合这句话吗？（生齐答：符合）那你有什么新的想法？
生7：1的倒数是1。
师：你叫什么名字？（生：王晨）
教师板书：王晨发现(板书在“1的倒数是1”的右边)。
师：显然1是一个特殊的数，还有没有特殊的数？
生齐答：0
生1：0除外。
师：课本上在倒数的意义中，为什么不加“零除外”呢？
生2：因为0×0=0，所以0不能互为倒数。
生3：0乘任何数都是0，不可能得到乘积是1。
师：你有什么想法？
生3：……(一时语塞)
师板书：(边板书边说：我板书两个字，你肯定说得出了)没有。
生3：0没有倒数。
教师：“0没有倒数”这个发现好，说明了并不是所有的数都有倒数。
师：这个结论也有张老师一半的智慧哦！(教师的幽默引来了学生善意的笑声)你叫什么名字？（生：池静宜）
这时，有学生提议：让池静宜来写。
师：你的字一定很漂亮，好吧，请！
该学生上黑板板书：0没有倒数。池静宜突然停笔，面对老师问：“老师，你的名字要写吗？”(学生都笑了)
师：不要了。谢谢你！你写的字真漂亮，下了课，你能写幅书法作品给我吗？
生：好的！(师生握手，生愉快地走下台。)
［评析：上面的几个环节，听课老师课后回味说：“是一幕精彩的话剧，又如尝到了一道道鲜美的佳肴。”为了深层次地剖析倒数的意义、方法与特例，确立以学生为主体，让学生主动探究，深入研究，教师因势利导地板书，恰到好处地表扬与鼓励。在这样的对话中，学生不仅受到数学的熏陶，而且更为重要的是情感态度价值观的确立，学会了终身受用的本领，即对一些概念的深层次的理解、内化及运用，深刻理解倒数概念的内涵与外延，同时培养了学生善于发现问题的能力。教师在与学生的心理沟通方面自然亲切，在落实建立新型的师生关系方面为我们作了示范。］
［反思：对于两个特例“1”和“0”，本课没有专门由教师提出，而是在学生的深入思考中得出的，这就是学生学习的成果。当下面有学生提议让池静宜来写时，我顺水做了一个人情，因为屯村小学是以写字为教学特色的，多次被朱永新教授作为例子介绍。学生在与老师的对话中受到熏陶，有了情感的体验，真情地流露出：“老师，要不要写上你的名字？”同时，对于高年级学生来说，那种单一的语言上的表扬“你真棒！”“不错！”“了不起！”已激发不起学生的持续的学习激情，重要的是使学生感受到学习的乐趣与成功感。在我第二次去屯村小学听课时，正好碰到了池静宜同学，她不仅与我主动打招呼，还问我是否收到她的作品，我想这就是作为教师的幸福。］
4.综合练习
(1)教师出示卡片①：判断并说出理由：0.25的倒数是4。( )
生：对的。因为0.25×4=1，所以0.25的倒数是4。(下略)
教师出示卡片②：2/3×( )=1。
学生积极举手，想说答案。
师：老师知道大家都能很快说出答案，我想问的是，这道填空题是什么意思？
生1：求2/3的倒数是多少。
生2：2/3的倒数是3/2。
教师出示卡片③：1÷2/3=( )。
师：这个算式又是什么意思？
生1：求2/3的倒数是多少。
生2：2/3的倒数是3/2。
卡片④：7×( )=1。
生：7的倒数是1/7。
卡片⑤：1÷7=( )。
生：7的倒数是。
师：你能换句话说说吗？
生：1/7是7的倒数，7和1/7互为倒数。
卡片⑥：1/9×( )=1。
生：1/9的倒数是9。
(2)教师出示卡片⑦：一个数与它的倒数的和是8(1/8)，这个数是( )。
生：这个数是8。
［反思：在这里由于自己的疏忽，学生回答了8后，没有让学生继续思考“还有没有其他答案”，而正因为倒数的“互为”关系，这题还有另一个答案1/8。教学真是一门遗憾的艺术。我们教师要尽量减少这种遗憾。］
(3)教师出示：填空：3×( )=6×( )=9×( )=1。
(学生说，教师写出答案。)
师：你有发现吗？
生：整数的倒数就是分母为整数本身，分子为1的分数。
师：也就是说，整数的倒数是一个分数单位。
师：原来的3、6、9越来越--？
生：越来越大！
师：那它的----？
生：它的倒数越来越小。
(4)教师出示：3/4×( )=2/5×( )=4/7×( )=1。
(学生说，教师写答案。然后教师擦去1。)
师：现在擦去'1'后，你认为有几种填法？
生：还可以让它们的积等于2、3、……，所以有无数种填法。
师：但是根据倒数的意义来填是最容易考虑的，是吧？
(5)教师出示：填符号或数字。
①8÷2○8×1/2；②10÷5○10×1/5；
(学生说答案，教师写。)
③20÷( )○20×( )；
生：20÷(5)=20×1/5。
生：20÷(2)=20×1/2。
……
5.总结延伸
出示卡片：7÷2/3○7×3/2。
师：你猜一下，7÷2/3○7×3/2能划等号吗？(生：能)那究竟为什么呢？我们下一节数学课再作研究，好吗？(生：好)
师：今天我们认识了倒数，同学们有很多发现。刚才有同学记起了公约数只有1的两个数是互质数，现在我们又知道乘积是1的两个数互为倒数，看来数学中有不少这样的规律，希望以后大家创造更多的发现。谢谢大家，下课。
［反思：学习倒数，直接的作用是为学习下面分数除法打基础，所以在课尾作了这样的孕伏。同时对于教学中像“公约数只有1的两个数是互质数”“乘积是1的两个数互为倒数”这样的概念，是不是还有？自己心里也拿不准，深感自身数学知识的不足。］
总评：建构主义理论认为，学生是以原来的经验来解释教材中的内容，建立起一个新的概念，这就是建构。建构是一个逐步渐进的过程，是一个探索与实践、纠偏再实践的循环过程。张老师深知建构在数学教学中的重要作用，在这节课中作了具体生动的诠释。确立以学生为主体的观念，让学生成为课堂的主角，成为发现知识的成功者，引导学生逐步深入探究、剖析倒数的意义和相关方法，并让学生发现其中的数学规律与奥秘，从而激发学生对数学的深层次的热爱。
师生互动全面发展是本课的一大特色。整节课基本上是由教师与学生对话，围绕文本互动的过程。教学的本质是一种沟通与合作。教师创设了与学生围绕“倒数”这个知识目标进行民主、平等、和谐、生动的对话交流的动态情景，在对话交流中，包含了知识信息和情感态度、行为规范等多方面的有机组合，促进了学生多方面素养提高。
数学活动是让学生经历一个数学化的过程，也就是让学生从自己的数学经验出发，经过自己的思考，概括或发现有关数学结论的过程，这是本课体现的第二大特色。特别是学生对倒数意义、方法的再创造的过程给听课教师留下了深刻的印象。
着力培养学生的数学思维是本节课的第三大特色。数学课要引导学生学会独立思考，善于发现数学奥秘，又有效地调动全体学生敢于发现，善于发现，敢于发表自己想法，学会反思、调控、修正自己的观点等优良品质。教师用板书学生姓名的特有方式既肯定了学生的发现，又达到表扬激励及榜样的作用，激起学生的思维一浪高过一浪，后浪推前浪的局面。
最后值得一提的是本课的板书。张老师进行了精心的设计：一是随教学的进程逐步出示，二是抓住概念的重难点，三是同时板书激励语，四是科学规范，给学生以启发。
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