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对话、建构、熏陶

2022-10-09高二数学教案

----《倒数的认识》课堂教学实录与评析、反思

1.揭示课题

师:今天我们学习倒数的认识。(板书:倒数的认识)你们看了这个课题后,想知道什么?

生1:倒数是什么东西?

师:倒数不是什么东西,而应该是什么知识?(同学们轻轻地笑了)

生2:数怎样倒法?

生3:是不是只有分数有倒数?

师:也就是说,同学们想知道倒数的意义和有关方法。

教师板书:意义、方法。

师:倒数的意义和有关方法课本上都有,我们一看就知道了。重要的是我们在学习中要有自己的发现。我相信你们。

教师板书:发现(用另一种颜色的粉笔写)。

[评析:一上课就揭示课题,开门见山,有利于在一节课的最佳时域直奔重点,突破难点。教师只有确立以学生为本的理念,充分了解学生的学习起点和学习疑难症结,把握学生跳动的脉搏,才能有针对性地下功夫。]

[反思:课始直奔主题,一是可节省教学时间,把更多的时间让给学生去思考、去讨论。二是对本节课的旧知识学生几乎不存在什么计算上的问题。同时,由于是借班上课,我想降低课始的起点,使学生产生安全的心理,全身心投入学习。]

2.初步理解倒数的意义

(1)自学课本。

师:请大家在课本上找到倒数的意义,读一读。

学生打开课本,寻找倒数的意义,用笔划词句。

(2)复述意义。

师:请同学们合上书,谁能说说什么是倒数?

生1:乘积是1……

师:看来只读一遍就要记住有一定的难度,谁再来说说?

生2:乘积是1的两个数互为倒数。

教师板书:乘积是1的两个数----

师:后面是什么,张老师忘了,谁来帮忙?

生3:互为倒数。

教师接着板书:互为倒数。

[评析:教师恰到好处地设置疑问,有利于学生层层深入地思考。同时,高明的教师有时假装糊涂,把“聪明”让给学生,“张老师忘了,谁来帮忙?”短短的话语满足了学生求知探新的成功欲,这是促进学生有效学习的基本策略。这也是张老师课堂教学的一大特点,在下面的教学中还有不少类似的对话。]

(3)初步剖析意义。

师:我们读的时候可以把这句话分成两部分,你认为该怎么读?

生1:乘积是1的两个数/互为倒数。

生2:乘积是1的/两个数互为倒数。

师:这两种读法究竟哪一种读法好?同桌同学讨论一下,并说说你的想法。

生3:乘积是1的两个数/互为倒数。

师:为什么这样读?

生3:这样读很顺。

师:你是怎样读的?

生4:乘积是1的/两个数互为倒数。

师:同意这样读的同学请举手。看来,女同学都支持第一种,男同学都支持第二种。我也支持第二种的读法。

教师边说边板书:条件(在“乘积是1”的下面划上红线)、结论(在“两个数互为倒数”的下面划上红线)。

师:因为有了“乘积是1”的条件,才有“两个数互为倒数”的结论。

[反思:对倒数概念的两种读法,事后细想,还是第一位学生的读法为好,因为“乘积是1”是“两个数”的定语,把它们隔开不好,另外,这句话是省略了“它们”两个字,完整的应是“乘积是1的两个数,它们互为倒数”,前面是条件,后面是结论。]

3.深入探究倒数的意义

(1)示范举例。

师:现在老师写一个算式,大家看看是不是符合这句话的意义?

教师板书:4/5×5/4=1。(生:符合)

师:那你有什么结论?

生:4/5和5/4互为倒数。

教师板书:4/5和5/4互为倒数。

师:在条件前加两个字……

教师板书:因为板书在4/5×5/4=1的前面。

师:有了因为,就有----

学生齐声回答“所以”,教师板书:所以板书在4/5和5/4互为倒数的前面。

师:谁来把条件、结论完整地说一说?

生:因为4/5×5/4=1,所以4/5和5/4互为倒数。

[评析:常常发现六年级学生做作业 写倒数时,用这样的形式表示“2/3=3/2”,误认为等号左边是已知条件的数据,等号右边是所求的结果数据。教师的示范表述在这里显得很有必要,这是规范学生表述的重要环节。]

(2)学生举例。

师:每个学生写一个这样的算式,然后让同桌的同学照样子说一说。(学生练习)

师:你是怎么写的,说说看?

生:因为2/7×7/2=1,所以2/7和7/2互为倒数。

(3)深入剖析意义。

①剖析“互为”的含义。(注:以下几个层次都是以学生为主提出讨论的,教师仅起到穿针引线的作用。小瓣题是在整理课堂实录后另外加上去的。)

师:我们现在对倒数的意义有了一定的理解,不过还不够深入。现在请大家再认真读一读、想一想,你能对这句话中的某个字或某个词理解得更深刻些,向大家解释得更清楚一些吗?

[反思:对于概念的教学,我们的老师大多比较轻视,认为让学生读一二遍记住就达到目的了。其实,这都是表面现象,根本不能促使学生数学思维品质的提高。所以,让学生关注基础知识本身,这是我们数学课不能丢的根本,也是实现新课程提出的三维目标的关键,重要的是让学生在掌握概念的过程中,学会数学思考,体会解决问题所带来的成功体验。]

过了几分钟,陆续有五六位学生举手。

师:已经有同学想来为大家解释了,暂时没有思考出结果的同学不要急,过一会儿在听别人发言的时候,你一定会有所发现的。现在谁来贡献自己的成果?

生:“互为”就是分数的分子与分母是互质数。

师:是这样吗?我刚才看见有一位同学写了这样一个算式:4/6×6/4=1,分数中的4和6就不是互质数啊?但4/6与6/4是互为倒数,说明这位同学理解的'互为'不正确。不过这位同学能联想到以前的旧知识,这是一种学习的方法,你还记得什么叫互质数吗?

生:公约数只有1的两个数是互质数。

教师板书:公约数只有1的两个数是互质数。

[反思:学生提出“互为”就是“互质数”的意思,这是我始料不及的。既然这是学生的直观想法,那我们不能回避,所以我从另一个角度来“表扬”他,因为学生敢回答,就说明他在思考。另外,我们教师的提问,并不都是为了求得正确答案啊!不同的回答,甚至是错误的回答,我们处理好了,这就是教学中一种不可多得的资源。]

师:谁对“互为”有不同的解释?

生:“互为”是互相成为一个关系,互为倒数是指这两个数互相成为倒数关系。

师:你能根据具体的例子说一说吗?

生:4/5是5/4的倒数,5/4是4/5的倒数。

教师板书:就是----

师:哎呀!老师忘了,怎么说?

生:4/5是5/4的倒数,5/4是4/5的倒数。

教师接着板书:4/5的倒数就是5/4,5/4的倒数就是4/5。

教师出示卡片:判断:2和1/2都是倒数。(  )

师:谁来判断一下这句话的正误,请说明理由。

生1:错了,1/2倒过来是2/1。

生2:对的,因为2可以化成2/1

师:刚才这两位同学争论的是这两个数的形式,请大家再想一想,判断一句话说得是否正确,应该怎样想?

生3:应根据倒数的意义去判断。

师:说得好。判断一句话的正确与否,主要看实质,不能仅看表面形式。

生3:错了。不能说“都是”,应该说出谁是谁的倒数。

生4:错了,应该是2和1/2互为倒数。

②剖析“乘积是1”的含义。

师:谁再来解释?

生:我想为大家解释“乘积是1”,就是一个数乘一个数。

师:“我想为大家解释”,这位同学非常好,愿意把自己的智慧贡献出来与大家分享。

教师出示卡片:判断:因为1/3+2/3=1,所以1/3和2/3互为倒数。()

生:错了,因为不是乘积是1,而是和是1。

(4)探究求倒数的方法。

师:谁想再解释吗?

生:我想解释4/5的倒数的分子就是4/5的分母,4/5的倒数的分母就是4/5的分子。

师:你的意思就是互为倒数的两个数,分子、分母的----

生:分子、分母的位置对调一下。

教师板书:分子、分母调换位置。

师:你叫什么名字?(生齐说:陈潇雨)你真了不起,有了自己的发现。

教师板书:陈潇雨发现(板书在分子、分母调换位置的后面,用红色粉笔书写)。

教师板书:

师:你对老师画的两个箭头,有什么想法?

生:5/4是4/5的倒数,但4/5也是5/4的倒数,所以不能只画两个箭头。

师:所以,还要----

生:还要画两个箭头。

教师在原来的线上加了两个从右到左的箭头。

师:你叫什么名字?(生齐说:周宇明)

教师板书:周宇明发现(板书在有箭头式子的右边)。

[反思:在原来的教学设计中,求倒数的方法是在后面的,但现在学生提出来了,我就把这个环节提上来了,并从中得到启发,再一次让学生体会“互为”的意思。其实我们只要相信学生,给他们信念,农村孩子的表现照样会令教师意想不到,这就是教学相长。]

(5)探索倒数的特例。

师:谁愿意把自己的智慧继续与大家一起分享?

生1:我想解释“两个数”,就是两个因数。

师:哈!“互为倒数”被别人解释了,“乘积是1”也给别人解释了,只有这“两个数”了。这位同学的发言让大家的注意力集中在“两个数”了。谁有不同的想法?

生2:这两个数是两个分数,不是分数的可以化成分数,是整数的或小数的都可以化成分数。

师:成倒数的两个数中,应该有几个整数?

生3:两个整数,不!不对,应该是一个整数。

师:谁能举个例子?

生4:4×1/4=1。

生5:12×1/12=1。

师:他刚才先说两个整数,有可能吗?

生6:不可能,比如5×5=25。

师:(看见学生举手,想发表不同意见,于是指名回答)你说呢!

生7:那1×1不是等于1吗?确实是两个整数啊。

(对方同学哑口无言,其他同学也很惊讶:哎!1×1是等于1。)

师:那你是什么意思?

生7:乘积是1的两个数互为倒数(1除外)。

师:请大家找一找,课本上这句话的旁边有'1除外'吗?

(学生打开课本,没有这句话。)

师:1×1=1符合这句话吗?(生齐答:符合)那你有什么新的想法?

生7:1的倒数是1。

师:你叫什么名字?(生:王晨)

教师板书:王晨发现(板书在“1的倒数是1”的右边)。

师:显然1是一个特殊的数,还有没有特殊的数?

生齐答:0

生1:0除外。

师:课本上在倒数的意义中,为什么不加“零除外”呢?

生2:因为0×0=0,所以0不能互为倒数。

生3:0乘任何数都是0,不可能得到乘积是1。

师:你有什么想法?

生3:……(一时语塞)

师板书:(边板书边说:我板书两个字,你肯定说得出了)没有。

生3:0没有倒数。

教师:“0没有倒数”这个发现好,说明了并不是所有的数都有倒数。

师:这个结论也有张老师一半的智慧哦!(教师的幽默引来了学生善意的笑声)你叫什么名字?(生:池静宜)

这时,有学生提议:让池静宜来写。

师:你的字一定很漂亮,好吧,请!

该学生上黑板板书:0没有倒数。池静宜突然停笔,面对老师问:“老师,你的名字要写吗?”(学生都笑了)

师:不要了。谢谢你!你写的字真漂亮,下了课,你能写幅书法作品给我吗?

生:好的!(师生握手,生愉快地走下台。)

[评析:上面的几个环节,听课老师课后回味说:“是一幕精彩的话剧,又如尝到了一道道鲜美的佳肴。”为了深层次地剖析倒数的意义、方法与特例,确立以学生为主体,让学生主动探究,深入研究,教师因势利导地板书,恰到好处地表扬与鼓励。在这样的对话中,学生不仅受到数学的熏陶,而且更为重要的是情感态度价值观的确立,学会了终身受用的本领,即对一些概念的深层次的理解、内化及运用,深刻理解倒数概念的内涵与外延,同时培养了学生善于发现问题的能力。教师在与学生的心理沟通方面自然亲切,在落实建立新型的师生关系方面为我们作了示范。]

[反思:对于两个特例“1”和“0”,本课没有专门由教师提出,而是在学生的深入思考中得出的,这就是学生学习的成果。当下面有学生提议让池静宜来写时,我顺水做了一个人情,因为屯村小学是以写字为教学特色的,多次被朱永新教授作为例子介绍。学生在与老师的对话中受到熏陶,有了情感的体验,真情地流露出:“老师,要不要写上你的名字?”同时,对于高年级学生来说,那种单一的语言上的表扬“你真棒!”“不错!”“了不起!”已激发不起学生的持续的学习激情,重要的是使学生感受到学习的乐趣与成功感。在我第二次去屯村小学听课时,正好碰到了池静宜同学,她不仅与我主动打招呼,还问我是否收到她的作品,我想这就是作为教师的幸福。]

4.综合练习

(1)教师出示卡片①:判断并说出理由:0.25的倒数是4。(  )

生:对的。因为0.25×4=1,所以0.25的倒数是4。(下略)

教师出示卡片②:2/3×(  )=1。

学生积极举手,想说答案。

师:老师知道大家都能很快说出答案,我想问的是,这道填空题是什么意思?

生1:求2/3的倒数是多少。

生2:2/3的倒数是3/2。

教师出示卡片③:1÷2/3=(  )。

师:这个算式又是什么意思?

生1:求2/3的倒数是多少。

生2:2/3的倒数是3/2。

卡片④:7×(  )=1。

生:7的倒数是1/7。

卡片⑤:1÷7=(  )。

生:7的倒数是。

师:你能换句话说说吗?

生:1/7是7的倒数,7和1/7互为倒数。

卡片⑥:1/9×(  )=1。

生:1/9的倒数是9。

(2)教师出示卡片⑦:一个数与它的倒数的和是8(1/8),这个数是(  )。

生:这个数是8。

[反思:在这里由于自己的疏忽,学生回答了8后,没有让学生继续思考“还有没有其他答案”,而正因为倒数的“互为”关系,这题还有另一个答案1/8。教学真是一门遗憾的艺术。我们教师要尽量减少这种遗憾。]

(3)教师出示:填空:3×(  )=6×(  )=9×(  )=1。

(学生说,教师写出答案。)

师:你有发现吗?

生:整数的倒数就是分母为整数本身,分子为1的分数。

师:也就是说,整数的倒数是一个分数单位。

师:原来的3、6、9越来越--?

生:越来越大!

师:那它的----?

生:它的倒数越来越小。

(4)教师出示:3/4×(  )=2/5×(  )=4/7×(  )=1。

(学生说,教师写答案。然后教师擦去1。)

师:现在擦去'1'后,你认为有几种填法?

生:还可以让它们的积等于2、3、……,所以有无数种填法。

师:但是根据倒数的意义来填是最容易考虑的,是吧?

(5)教师出示:填符号或数字。

①8÷2○8×1/2;②10÷5○10×1/5;

(学生说答案,教师写。)

③20÷(  )○20×(  );

生:20÷(5)=20×1/5。

生:20÷(2)=20×1/2。

……

5.总结延伸

出示卡片:7÷2/3○7×3/2。

师:你猜一下,7÷2/3○7×3/2能划等号吗?(生:能)那究竟为什么呢?我们下一节数学课再作研究,好吗?(生:好)

师:今天我们认识了倒数,同学们有很多发现。刚才有同学记起了公约数只有1的两个数是互质数,现在我们又知道乘积是1的两个数互为倒数,看来数学中有不少这样的规律,希望以后大家创造更多的发现。谢谢大家,下课。

[反思:学习倒数,直接的作用是为学习下面分数除法打基础,所以在课尾作了这样的孕伏。同时对于教学中像“公约数只有1的两个数是互质数”“乘积是1的两个数互为倒数”这样的概念,是不是还有?自己心里也拿不准,深感自身数学知识的不足。]

总评:建构主义理论认为,学生是以原来的经验来解释教材中的内容,建立起一个新的概念,这就是建构。建构是一个逐步渐进的过程,是一个探索与实践、纠偏再实践的循环过程。张老师深知建构在数学教学中的重要作用,在这节课中作了具体生动的诠释。确立以学生为主体的观念,让学生成为课堂的主角,成为发现知识的成功者,引导学生逐步深入探究、剖析倒数的意义和相关方法,并让学生发现其中的数学规律与奥秘,从而激发学生对数学的深层次的热爱。

师生互动全面发展是本课的一大特色。整节课基本上是由教师与学生对话,围绕文本互动的过程。教学的本质是一种沟通与合作。教师创设了与学生围绕“倒数”这个知识目标进行民主、平等、和谐、生动的对话交流的动态情景,在对话交流中,包含了知识信息和情感态度、行为规范等多方面的有机组合,促进了学生多方面素养提高。

数学活动是让学生经历一个数学化的过程,也就是让学生从自己的数学经验出发,经过自己的思考,概括或发现有关数学结论的过程,这是本课体现的第二大特色。特别是学生对倒数意义、方法的再创造的过程给听课教师留下了深刻的印象。

着力培养学生的数学思维是本节课的第三大特色。数学课要引导学生学会独立思考,善于发现数学奥秘,又有效地调动全体学生敢于发现,善于发现,敢于发表自己想法,学会反思、调控、修正自己的观点等优良品质。教师用板书学生姓名的特有方式既肯定了学生的发现,又达到表扬激励及榜样的作用,激起学生的思维一浪高过一浪,后浪推前浪的局面。

最后值得一提的是本课的板书。张老师进行了精心的设计:一是随教学的进程逐步出示,二是抓住概念的重难点,三是同时板书激励语,四是科学规范,给学生以启发。

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