不等式的解法举例

教学目标 

（1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；

（2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；

（3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；

（4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；

（5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣.

教学建议

一、知识结构

本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：
  ;

;

;

二、重点、难点分析

本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当 为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当 为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.

三、教学建议

(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.

(2)在研究不等式 的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,启发学生运用换元思想将 替换成 ,从而转化一元二次不等式组的求解.

(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“ ”中的两个不等式的解集间的交并关系，“ ” 两个不等式的解集间的交并关系.

(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“ ”.

(5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.

(6)分式不等式 与高次不等式 的等价原因, 可以认为是不等式 两端同乘以正数 ,不等号不改变方向所得;也可以认为是 与 符号相同所得.

(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是 )时，应将其去掉，从而使不等式化简.

(8)建议补充简单的无理不等式 的解法,其中 为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对 的影响,即 保证了 ,而 却不能保证这一点,所以要分 和 两种情况进行讨论.

(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.

教学设计示例

分式不等式的解法

教学目标 

1.掌握分式不等式向整式不等式的转化；
2.进一步熟悉并掌握数轴标根法；
3.掌握分式不等式基本解法.

教学重点难点

重点是分式不等式解法
难点是分式不等式向整式不等式的转化

教学方法

启发式和引导式

教具准备

三角板、幻灯片

教学过程 

1.复习回顾：

前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.

2.讲授新课：

例3  解不等式 ＜0.

分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：

因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.

另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x²－3x＋2）(x²－2x－3)＜0

即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0

令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0

可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.

由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；

（2）让学生思考 ≤0的等价变形.

例4  解不等式 ＞1

分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.

解：原不等式等价变形为：

－1＞0

通分整理得： ＞0

等价变形为：（x²－2x＋3）(x²－3x＋2)＞0

即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}

说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.

3.课堂练习：

课本P₁₉练习1.

补充：（1） ≥0；

（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.

课堂小结

通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.

课后作业 

习题6.4  3,4.

板书设计 

●教学后记

探究活动

试一试用所学知识解下列不等式：

（1） ；

（2） ；

（3） .

答案： （1）原式

观察这个不等式组，由于要求 ，同时要求 ，所以①式可以不解.

∴ 原式

如下图

∴

（2）分析 当 时，不等式两边平方，当 时，在 有意义的前提下恒成立.

原式 （Ⅰ）

或（Ⅱ）

由于同时满足（2）、（3）式，所以（1）式免解.

∴ （Ⅰ）式

（Ⅱ）式 .

综合（Ⅰ）、（Ⅱ），得 .

（3）分析 当 时，不等式两边平方，当 时，原式解集为 .

原式

观察不等式组，设有可以免解的不等式.

原式

如下图

∴

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