第二十一章 二次根式

第二十一章  二次根式    教材内容    1.本单元教学的主要内容：     二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.     2.本单元在教材中的地位和作用：     二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.     教学目标    1.知识与技能    （1）理解二次根式的概念.     （2）理解 （a≥0）是一个非负数，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）.     （3）掌握 · ＝ （a≥0，b≥0）， = · ； = （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）.     （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.     2.过程与方法    （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.     （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算.     （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简.     （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.     3.情感、态度与价值观    通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.     教学重点    1.二次根式 （a≥0）的内涵. （a≥0）是一个非负数；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其运用.     2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念.     4.二次根式的加减运算.     教学难点    1.对 （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及应用.     2.二次根式的乘法、除法的条件限制.     3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.     教学关键    1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.     2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.     单元课时划分    本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：     21.1  二次根式            3课时     21.2  二次根式的乘法      3课时     21.3  二次根式的加减      3课时     教学活动、习题课、小结     2课时 共6页，当前第1页123456

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21.1.1  二次根式    教学内容    二次根式的概念及其运用     教学目标    理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目.     提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.     教学重难点关键    1.重点：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；     2.难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题.     教学过程abc    一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、 纵坐标相等的点的坐标是_________. 问题2：如图，在直角三角形abc中，ac=3，bc=1，∠c=90°， 那么ab边的长是__________.

问题3：正方形的面积为s,则它的边长为_____.     老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3.因为点在第一象限，所以x= ，        所以所求点的坐标（ ， ）.               问题2：由勾股定理得ab=               问题3：     二、探索新知很明显 、 、 ，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件： ( 1 )   必须有二次根号； ( 2 )   被开方数不能小于0 。 （学生活动）议一议： 1、4的平方根是_____；0的平方根是______；－16的平方根是____. 5的平方根是_______；5的算术平方根是____.   2、-1有算术平方根吗？ 3、0的算术平方根是多少？ 4、当a<0， 有意义吗？     老师点评:（略） 例1.      下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）。 例2.      、 、 、 、 . 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 例1解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 . 例2解：例如 ：  ∵m2≥0, ∴m2+1>0   ∴ 是二次根式. 例如 ：    ∵ 2≥0, ∴ 是二次根式; 例如 ：   ∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时 才是二次根式； 例如 ：    当a-2≥0时是二次根式,当 -2<0时不是二次根式； 即当 ≥2是二次根式,当 <0时不是二次根式； 例如 ：   当x-y≥0时是二次根式,当 x-y<0时不是二次根式； 即当x≥y是二次根式,当x<y时不是二次根式.     例3.当x是多少时， 在实数范围内有意义？     分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义.     解：由3x-1≥0，得：x≥     当x≥ 时， 在实数范围内有意义.     三、巩固练习:第 5 页 练习 1、2、3共6页，当前第2页123456

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补充例题： 例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？            ( 1 )                 ( 2 ) 解： ( 1 )  由 ≥ 0 ，解得：x 取任意实数                 ∴ 当 x 取任意实数时，二次根式 在实数范围内都有意义。          ( 2 )  由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0            解得：x ＞ 1                 ∴ 当 x ＞ 1时，二次根式 在实数范围内都有意义。 课堂练习：  1.x取什么实数时，下列各式有意义. （1） ；          （2） ； （3） ；        （4）     四、应用拓展    例4.当x是多少时， + 在实数范围内有意义？     分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0.     解：依题意，得     由①得：x≥-     由②得：x≠-1     当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义. 例5(1)已知y= + +5，求 的值.(答案:2) (2)若 + =0，求a+b值.(答案: )     五、归纳小结（学生活动，老师点评）         本节课要掌握：     1.形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.     2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.     六、布置作业    1.教材p8复习巩固1、综合应用5. 2.选用课时作业设计.

21.1.2  二次根式    教学内容    1. （a≥0）是一个非负数；     2.（ ）2=a（a≥0）.     教学目标    理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.     通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题.     教学重难点关键    1.重点： （a≥0）是一个非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用. 2.难点、关键：用分类思想的方法导出 （a≥0）是一个非负数； 用探究的方法导出（ ）2=a（a≥0）.     教学过程    一、复习引入    （学生活动）口答     1.什么叫二次根式？     2.当a≥0时， 叫什么？当a<0时， 有意义吗？   ［老师点评（略）.］     二、探究新知共6页，当前第3页123456

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    议一议：（学生分组讨论，提问解答）     （a≥0）是一个什么数呢？     老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出     （a≥0）是一个非负数.    做一做：根据算术平方根的意义填空： （ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______； （ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______.     老师点评： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有（ ）2=4.     同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以

（ ）2 = a（a ≥ 0）    例1  计算     1.（ ）2    2.（3 ）2    3.（ ）2     4.（ ）2    分析：我们可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的结论解题. 解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32·（ ）2=32·5=45， （ ）2= ，（ ）2= .     三、巩固练习    计算下列各式的值： （ ）2    （ ）2    （ ）2    （ ）2     （4 ）2          四、应用拓展    例2  计算 1.（ ）2（x≥0）   2.（ ）2   3.（ ）2   4.（ ）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0. 所以上面的4题都可以运用（ ）2=a（a≥0）的重要结论解题.     解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,（ ）2=x+1     （2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0， ∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1    （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 ,  又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:     （1）x2-3    （2）x4-4        (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：    1. （a≥0）是一个非负数；    2.（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）.    六、布置作业    1.教材p8  复习巩固2.（1）、（2）  p9  7. 2.选用课时作业设计.     第二课时作业设计    一、选择题    1.下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（  ）.       a.4     b.3     c.2     d.1     2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）.       a.a>0    b.a≥0     c.a<0     d.a=0     二、填空题共6页，当前第4页123456

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    1.（- ）2=________.     2.已知 有意义，那么是一个_______数.     三、综合提高题    1.计算 （1）（ ）2    （2）-（ ）2    （3）（ ）2     （4）（-3 ）2 (5)            2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:     （1）5     （2）3.4    （3）      （4）x（x≥0） 3.已知 + =0，求xy的值.     4.在实数范围内分解下列因式:     （1）x2-2    （2）x4-9     3x2-5     第二课时作业设计答案:    一、1.b  2.c     二、1.3  2.非负数 三、1.（1）（ ）2=9    （2）-（ ）2=-3   （3）（ ）2= ×6=       （4）（-3 ）2=9× =6   (5)-6 2.（1）5=（ ）2  （2）3.4=（ ）2  （3） =（ ）2  （4）x=（ ）2（x≥0）     3.   xy=34=81 4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）  （2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ） (3)略

21.1.3 二次根式    教学内容    ＝a（a≥0）     教学目标    理解 =a（a≥0）并利用它进行计算和化简.     通过具体数据的解答，探究 =a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题.     教学重难点关键    1.重点： ＝a（a≥0）.     2.难点：探究结论.     3.关键：讲清a≥0时， ＝a才成立.     教学过程    一、复习引入    老师口述并板收上两节课的重要内容；     1.形如 （a≥0）的式子叫做二次根式；     2. （a≥0）是一个非负数；     3.( )2＝a（a≥0）.     那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.     二、探究新知    （学生活动）填空：     =_______； =_______； =______；     =________； =________； =_______.     （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：     =2； =0.01； = ； = ； =0； = .     因此，一般地： =a（a≥0）    例1  化简     （1）   （2）   （3）   （4） 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可运用 =a（a≥0）去化简. 解：（1） = =3  （2） = =4  （3） = =5  （4） = =3     三、巩固练习共6页，当前第5页123456

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    教材p7练习2.     四、应用拓展    例2  填空：当a≥0时， =_____；当a<0时， =_______，并根据这一性质回答下列问题. （1）若 =a，则a可以是什么数？    （2）若 =-a，则a可以是什么数？     （3） >a，则a可以是什么数？     分析：∵ =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（  ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， = ，那么-a≥0.     （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 =│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0.     解：（1）因为 =a，所以a≥0；    （2）因为 =-a，所以a≤0； （3）因为当a≥0时 =a，要使 >a，即使a>a所以a不存在；当a<0时， =-a，要使 >a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简 - .  五、归纳小结     本节课应掌握： =a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时， ＝－a的应用拓展.     六、布置作业    1.教材p8习题21.1  3、4、6、8.     2.选作课时作业设计.     第三课时作业设计    一、选择题    1. 的值是（  ）.       a.0    b.      c.4      d.以上都不对     2.a≥0时， 、 、- ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（  ）.       a. = ≥-     b. > >-       c. < <-       d.- > =     二、填空题    1.- =________.     2.若 是一个正整数，则正整数m的最小值是________.     三、综合提高题    1.先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下：     甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17. 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________. 2.若│1995-a│+ =a，求a-19952的值. （提示：先由a-≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ + 。共6页，当前第6页123456

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