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第二十一章 二次根式

2022-10-09八年级数学教案

第二十一章  二次根式    教材内容    1.本单元教学的主要内容:     二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式.     2.本单元在教材中的地位和作用:     二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.     教学目标    1.知识与技能    (1)理解二次根式的概念.     (2)理解 (a≥0)是一个非负数,( )2=a(a≥0), =a(a≥0).     (3)掌握 · = (a≥0,b≥0), = · ; = (a≥0,b>0), = (a≥0,b>0).     (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.     2.过程与方法    (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.     (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并运用规定进行计算.     (3)利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.     (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.     3.情感、态度与价值观    通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.     教学重点    1.二次根式 (a≥0)的内涵. (a≥0)是一个非负数;( )2=a(a≥0); =a(a≥0)及其运用.     2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念.     4.二次根式的加减运算.     教学难点    1.对 (a≥0)是一个非负数的理解;对等式( )2=a(a≥0)及 =a(a≥0)的理解及应用.     2.二次根式的乘法、除法的条件限制.     3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.     教学关键    1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点.     2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.     单元课时划分    本单元教学时间约需11课时,具体分配如下:     21.1  二次根式            3课时     21.2  二次根式的乘法      3课时     21.3  二次根式的加减      3课时     教学活动、习题课、小结     2课时 6页,当前第1123456

21.1.1  二次根式    教学内容    二次根式的概念及其运用     教学目标    理解二次根式的概念,并利用 (a≥0)的意义解答具体题目.     提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.     教学重难点关键    1.重点:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念;     2.难点与关键:利用“ (a≥0)”解决具体问题.     教学过程abc    一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y= ,那么它的图象在第一象限横、 纵坐标相等的点的坐标是_________. 问题2:如图,在直角三角形abc中,ac=3,bc=1,∠c=90°, 那么ab边的长是__________.

问题3:正方形的面积为s,则它的边长为_____.     老师点评:问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x= ,        所以所求点的坐标( , ).               问题2:由勾股定理得ab=               问题3:     二、探索新知很明显 、 、 ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 由于二次根式的被开方数只能取非负值,因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件: ( 1 )   必须有二次根号; ( 2 )   被开方数不能小于0 。 (学生活动)议一议: 1、4的平方根是_____;0的平方根是______;-16的平方根是____. 5的平方根是_______;5的算术平方根是____.   2、-1有算术平方根吗? 3、0的算术平方根是多少? 4、当a<0, 有意义吗?     老师点评:(略) 例1.      下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、 、 、 (x>0)、 、 、- 、 、 (x≥0,y≥0)。 例2.      、 、 、 、 . 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“ ”;第二,被开方数是正数或0. 例1解:二次根式有: 、 (x>0)、 、- 、 (x≥0,y≥0);不是二次根式的有: 、 、 、 . 例2解:例如 :  ∵m2≥0, ∴m2+1>0   ∴ 是二次根式. 例如 :    ∵ 2≥0, ∴ 是二次根式; 例如 :   ∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时 才是二次根式; 例如 :    当a-2≥0时是二次根式,当 -2<0时不是二次根式; 即当 ≥2是二次根式,当 <0时不是二次根式; 例如 :   当x-y≥0时是二次根式,当 x-y<0时不是二次根式; 即当x≥y是二次根式,当x<y时不是二次根式.     例3.当x是多少时, 在实数范围内有意义?     分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0, 才能有意义.     解:由3x-1≥0,得:x≥     当x≥ 时, 在实数范围内有意义.     三、巩固练习:第 5 页 练习 1、2、36页,当前第2123456

补充例题: 例:x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义?            ( 1 )                 ( 2 ) 解: ( 1 )  由 ≥ 0 ,解得:x 取任意实数                 ∴ 当 x 取任意实数时,二次根式 在实数范围内都有意义。          ( 2 )  由 x -1 ≥ 0 ,且 x -1 ≠ 0            解得:x > 1                 ∴ 当 x > 1时,二次根式 在实数范围内都有意义。 课堂练习:  1.x取什么实数时,下列各式有意义. (1) ;          (2) ; (3) ;        (4)     四、应用拓展    例4.当x是多少时, + 在实数范围内有意义?     分析:要使 + 在实数范围内有意义,必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0.     解:依题意,得     由①得:x≥-     由②得:x≠-1     当x≥- 且x≠-1时, + 在实数范围内有意义. 例5(1)已知y= + +5,求 的值.(答案:2) (2)若 + =0,求a+b值.(答案: )     五、归纳小结(学生活动,老师点评)         本节课要掌握:     1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号.     2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.     六、布置作业    1.教材p8复习巩固1、综合应用5. 2.选用课时作业设计.

21.1.2  二次根式    教学内容    1. (a≥0)是一个非负数;     2.( )2=a(a≥0).     教学目标    理解 (a≥0)是一个非负数和( )2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.     通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出 (a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出( )2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.     教学重难点关键    1.重点: (a≥0)是一个非负数;( )2=a(a≥0)及其运用. 2.难点、关键:用分类思想的方法导出 (a≥0)是一个非负数; 用探究的方法导出( )2=a(a≥0).     教学过程    一、复习引入    (学生活动)口答     1.什么叫二次根式?     2.当a≥0时, 叫什么?当a<0时, 有意义吗?   [老师点评(略).]     二、探究新知6页,当前第3123456

    议一议:(学生分组讨论,提问解答)     (a≥0)是一个什么数呢?     老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出     (a≥0)是一个非负数.    做一做:根据算术平方根的意义填空: ( )2=_______;( )2=_______;( )2=______;( )2=_______; ( )2=______;( )2=_______;( )2=_______.     老师点评: 是4的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于4的非负数,因此有( )2=4.     同理可得:( )2=2,( )2=9,( )2=3,( )2= ,( )2= ,( )2=0,所以

( )2 = a(a ≥ 0)    例1  计算     1.( )2    2.(3 )2    3.( )2     4.( )2    分析:我们可以直接利用( )2=a(a≥0)的结论解题. 解:( )2 = ,(3 )2 =32·( )2=32·5=45, ( )2= ,( )2= .     三、巩固练习    计算下列各式的值: ( )2    ( )2    ( )2    ( )2     (4 )2          四、应用拓展    例2  计算 1.( )2(x≥0)   2.( )2   3.( )2   4.( )2 分析:(1)因为x≥0,所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0; (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0. 所以上面的4题都可以运用( )2=a(a≥0)的重要结论解题.     解:(1)因为x≥0,所以x+1>0,( )2=x+1     (2)∵a2≥0,∴( )2=a2(3)∵a2+2a+1=(a+1)2 , 又∵(a+1)2≥0, ∴a2+2a+1≥0 ,∴ =a2+2a+1    (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 ,  又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0,∴( )2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:     (1)x2-3    (2)x4-4        (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握:    1. (a≥0)是一个非负数;    2.( )2=a(a≥0);反之:a=( )2(a≥0).    六、布置作业    1.教材p8  复习巩固2.(1)、(2)  p9  7. 2.选用课时作业设计.     第二课时作业设计    一、选择题    1.下列各式中 、 、 、 、 、 ,二次根式的个数是(  ).       a.4     b.3     c.2     d.1     2.数a没有算术平方根,则a的取值范围是( ).       a.a>0    b.a≥0     c.a<0     d.a=0     二、填空题6页,当前第4123456

    1.(- )2=________.     2.已知 有意义,那么是一个_______数.     三、综合提高题    1.计算 (1)( )2    (2)-( )2    (3)( )2     (4)(-3 )2 (5)            2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:     (1)5     (2)3.4    (3)      (4)x(x≥0) 3.已知 + =0,求xy的值.     4.在实数范围内分解下列因式:     (1)x2-2    (2)x4-9     3x2-5     第二课时作业设计答案:    一、1.b  2.c     二、1.3  2.非负数 三、1.(1)( )2=9    (2)-( )2=-3   (3)( )2= ×6=       (4)(-3 )2=9× =6   (5)-6 2.(1)5=( )2  (2)3.4=( )2  (3) =( )2  (4)x=( )2(x≥0)     3.   xy=34=81 4.(1)x2-2=(x+ )(x- )  (2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+ )(x- ) (3)略

21.1.3 二次根式    教学内容    =a(a≥0)     教学目标    理解 =a(a≥0)并利用它进行计算和化简.     通过具体数据的解答,探究 =a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.     教学重难点关键    1.重点: =a(a≥0).     2.难点:探究结论.     3.关键:讲清a≥0时, =a才成立.     教学过程    一、复习引入    老师口述并板收上两节课的重要内容;     1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式;     2. (a≥0)是一个非负数;     3.( )2=a(a≥0).     那么,我们猜想当a≥0时, =a是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题.     二、探究新知    (学生活动)填空:     =_______; =_______; =______;     =________; =________; =_______.     (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到:     =2; =0.01; = ; = ; =0; = .     因此,一般地: =a(a≥0)    例1  化简     (1)   (2)   (3)   (4) 分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52, (4)(-3)2=32,所以都可运用 =a(a≥0)去化简. 解:(1) = =3  (2) = =4  (3) = =5  (4) = =3     三、巩固练习6页,当前第5123456

    教材p7练习2.     四、应用拓展    例2  填空:当a≥0时, =_____;当a<0时, =_______,并根据这一性质回答下列问题. (1)若 =a,则a可以是什么数?    (2)若 =-a,则a可以是什么数?     (3) >a,则a可以是什么数?     分析:∵ =a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“(  )2”中的数是正数,因为,当a≤0时, = ,那么-a≥0.     (1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知 =│a│,而│a│要大于a,只有什么时候才能保证呢?a<0.     解:(1)因为 =a,所以a≥0;    (2)因为 =-a,所以a≤0; (3)因为当a≥0时 =a,要使 >a,即使a>a所以a不存在;当a<0时, =-a,要使 >a,即使-a>a,a<0综上,a<0 例3当x>2,化简 - .  五、归纳小结     本节课应掌握: =a(a≥0)及其运用,同时理解当a<0时, =-a的应用拓展.     六、布置作业    1.教材p8习题21.1  3、4、6、8.     2.选作课时作业设计.     第三课时作业设计    一、选择题    1. 的值是(  ).       a.0    b.      c.4      d.以上都不对     2.a≥0时, 、 、- ,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是(  ).       a. = ≥-     b. > >-       c. < <-       d.- > =     二、填空题    1.- =________.     2.若 是一个正整数,则正整数m的最小值是________.     三、综合提高题    1.先化简再求值:当a=9时,求a+ 的值,甲乙两人的解答如下:     甲的解答为:原式=a+ =a+(1-a)=1; 乙的解答为:原式=a+ =a+(a-1)=2a-1=17. 两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________. 2.若│1995-a│+ =a,求a-19952的值. (提示:先由a-≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值) 3. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+ + 。6页,当前第6123456
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