15.3 乘法公式课时安排 3课时 从容说课 学习乘法公式，是在学习整式乘法的基础上进行的，是由一般到特殊的体现，所以教学时，可以安排学生计算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在学生计算的基础上引导学生导出公式，并进一步揭示公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础.为了揭示公式特征，教学中要紧紧地采取对比的方式.紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式的特征.尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可以发现特征不变，仍符合公式特征，从而根据公式解决问题. 运用乘法公式计算，有时需要添括号，在已学过去括号法则的基础上，本节还安排了添括号法则.它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础.学习它可以和去括号法则对比进行. 在对比中学，在对比中用，在对比中再进行比较，从基本类型的题目到变化多端的题目，从单一题型到复杂题型，从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式、法则的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能做到运用自如的效果.§15.3.1 平方差公式第九课时 教学目标 （一）教学知识点 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. （二）能力训练要求 1.在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括的能力. （三）情感与价值观要求 在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美. 教学重点 平方差公式的推导和应用. 教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式. 教学方法 探究与讲练相结合. 通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用. 教具准备 投影片. 教学过程 ⅰ.提出问题，创设情境 [师]你能用简便方法计算下列各题吗？ （1）×1999 （2）998×1002 [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，可以写成+1，1999可以写成-1，那么×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出. [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了. [师]很好，请同学们自己动手运算一下. [生]（1）×1999=（+1）（-1） =XX2-1+1+1×（-1）共5页，当前第1页12345
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=XX2-1 =4000000-1 =3999999. （2）998×1002=（1000-2）（1000+2） =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996. [师]×1999=XX2-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索. ⅱ.导入新课 [师]出示投影片 计算下列多项式的积. （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现. （学生讨论，教师引导） [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项. [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积. [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现. [生]解：（1）（x+1）（x-1） =x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1） =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y） =x2+5y•x-x•5y-（5y）2 =x2-（5y）2[生]从刚才的运算我发现： 也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果. [师]能不能再举例验证你的发现？ [生]能.例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12. 即（50+1）（50-1）=502-12. （-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）=（-a）2-b2=a2-b2 这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. [师]为什么会是这样的呢？ [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了. [师]很好.请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明.
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[生]这个规律用符号表示为： （a+b）（a-b）=a2-b2.其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式. 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2. [师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？ [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？ [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式. （出示投影） 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用. 在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算 （出示投影片） 例1：运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：计算： （1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座. 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b. 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a2-b2 同样的方法可以完成（2）、（3）.如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征.比如（2）应先作如下转化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）. 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则. （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题.也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的） [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4. （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2. （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2. [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2） =1002-22=10000-4=9996. （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？ [生]我觉得应注意以下几点： （1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
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（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式. [生]运算的最后结果应该是最简才行. [师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言. ⅲ.随堂练习 出示投影片： 计算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2. （2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2. （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2. （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4. （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2 =（a+2b）（a+2b）-4c2 =a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2 =a2+4ab+4b2-4c2 （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） =（a2-b2）（a2+b2） =（a2）2-（b2）2=a4-b4. 优胜组总结发言： 这些运算都可以通过变形后利用平方差公式.其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式.关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想. ⅳ.课时小结 通过本节学习我们掌握了如下知识. （1）平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这个公式叫做乘法的平方差公式.即（a+b）（a-b）=a2-b2. （2）公式的结构特征 ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式； ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式； ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式.如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2. ⅴ.课后作业 1.课本p179练习1、2. 2.课本p182～p183习题15.3─1题. ⅵ.活动与探究 1.计算：1234567892-123456788×123456790 2.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）（x+ ）=2. 过程： 1.看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算.
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2.方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简. 结果： 1.1234567892-123456788×123456790 =1234567892-（123456789-1）（123456789+1） =1234567892-（1234567892-1） =1234567892-1234567892+1 =1. 2.原方程可化为： 5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（ ）2]=2 ∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2 即5x+54x2-24-54x2+6=2 移项合并同类项得5x=20 ∴x=4. 板书设计 备课资料 [例1]利用平方差公式计算： （1）（a+3）（a-3）（a2+9）； （2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）. 分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1） 解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9） =（a2）2-92=a4-81； （2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1） =[（2x）2-12]（4x2+1） =（4x2-1）（4x2+1） =（4x2）2-1=16x4-1. 方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算.这是这类试题的计算原则. [例2]计算： （1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12； （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）. 分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式.于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算.事实上，这是可行的. 解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12） =（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+…+2+1 =（100+1）+（99+2）+…+（51+50） =50×101=5050； （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）. =（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）…（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ） = × × × × × ×…× × × × ＝ × = . 方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用.
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