运用公式法

教学设计示例

――完全平方公式(1)

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.

4.通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax⁴－ax²             (2)16m⁴－n⁴.

解 (1) ax⁴－ax²=ax²(x²－1)=ax²(x+1)(x－1)

   (2) 16m⁴－n⁴=(4m²)²－(n²)²

     =(4m²+n²)(4m²－n²)

     =(4m²+n²)(2m+n)(2m－n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)²=a²+2ab+b²,   (a－b)²=a²－2ab+b².

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a²+2ab+b²=(a+b)²；    a²－2ab+b²=(a－b)².

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a²+2ab+b²及a²－2ab+b²叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x²+6x+9； (2)x²+xy+y²；

(3)25x⁴－10x²+1； (4)16a²+1.

答：(1)式是完全平方式.因为x²与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x²+6x+9=(x+3) .

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

25x －10x +1=(5x－1) .

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1  把25x⁴+10x²+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x⁴”是(5x²)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x²”是5x²与1的积的2倍.所以多项式25x⁴+10x²+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解 25x⁴+10x²+1=(5x²)²+2·5x²·1+1²=(5x²+1)².

例2 把1－ m+ 分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“－ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）²=（1－ ）².

解法2 先提出 ，则

1－ m+ = (16－8m+m²)

=  (4²－2·4·m+m²)

= (4－m)².
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