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《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

2022-10-09八年级数学教案

知识体系梳理
◆  添项拆项法
有的多项式由于“缺项”,或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说,添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后,不能运用四种基本方法分解,添项拆项也是无用的。
◆  待定系数法
有些多项式不能直接分解因式,我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来,进而得出因式分解结果,这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆  换元法
所谓换元,即对结构比较复杂的代数式,把其中某些部分看成一个整体,用新的字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化、明朗化,象这种利用换元来解决复杂问题的方法,就叫         。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
(1)、使用换元法时,一定要有    意识,即把某些相同或相似的部分看成一个     。
(2)、换元法的种类有:单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
(3)、利用换元法解决问题时,最后要让原有的数或式“回归”。
★★  典型例题、方法导航
◆  方法一:添项拆项法
【例1】分解因式:
分析:此多项式是三次三项式,缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次,因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积,即  ,再看常数项 可分解成±1、±2,因此我们可猜想分解的结果可能是 或 或 ,但 的中间项是 ,因此 是不可能的,因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看:
解:
 
其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗?在注意到分解结果中有 和 的因式,因此还有其他更多的分解方法。
方法二:
方法三:
方法四:
方法五:
方法六:   (余下过程同学自己完成)
方法点金:拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的,一般可考虑添多项式中所缺的项,或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
◎ 变式议练一:
分解下列各式的因式
(1)                 (2)                (3)
◆  方法二:待定系数法
【例2】分解因式:
解:
设:
展开后左右两边比较系数求出 、 即可。

分解结果:
【例3】已知多项式 能被 整除,请分解前者的因式。
分析:设 ,利用多项式的恒等求出 、 即可。

◎ 变式议练二:
1、已知 是 的一个因式,则          ;
2、用待定系数法分解因式:
【例4】在实数范围内分解因式
(1)            (2)            (3) 2页,当前第112


◎ 变式议练三:
求 的算术平方根。
◆  方法三:换元法
◆  直接换元法
【例5】用换元法分解因式:
方法点金:设 ,
注意:换元法分解因式最后要回归。
◎ 变式议练四
1、用换元法分解因式:
2、用换元法分解因式:
方法点金:当两括号中的二次项,一次项的系数对应成比例可考虑用换元法分解因式。
【例6】分解因式:
分析:两括号中二次项、一次项系数的比为 ,可以换元。
◆  组合换元法
【例7】分解因式:
分析:观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为 ,因此也可用组合换元法分解因式。
◎ 变式议练五
证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方。
◆  能力与创新
把下列各式分解因式:
①、              ②、
③、

◆◆◆◆   快乐体验
1、若多项式 和多项式 有公因式,则        ;
2、若 能被 整除,则             ;
3、分解因式:
(1)            (2)
4、已知多项式 有一个因式是 ,把这个多项式分解因式。

5、甲、乙两同学分解多项式 时,甲看错了 ,分解结果为 ,乙看错了 ,分解结果为 ,请分析一下, 、 的值分别为多少?并写出正确的分解过程。
6、已知一个三角形的三边 、 、 满足 ,试判断这个三角形的形状,并证明你的结论。

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