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《因式分解-提公因式法》知识点归纳

2022-10-09八年级数学教案

★★  知识体系梳理
◆  因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)
注意:
1、因式分解对象是多项式;
2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;
3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;
◆  分解因式的作用
分解因式是一种重要的代数恒等变形,它有着广泛的应用,常见的用途有化简多项式和进行简便运算,恰当的运用分解因式,常可以使计算化繁为简。
◆  分解因式的一些原则
(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式,分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负,应先添上带“-”号的括号,并遵循添括号法则。
◆  因式分解的首要方法—提公因式法
1、公因式 :一个多项式每项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法 :如果一个多项式的各项含有公因式,可以逆用乘法分配律,把各项共有的
因式提出以分解因式的方法,叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点:
(1)提取的“公因式”可以是数、单项式,也可以是一个多项式,是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式,在提取公因式时,要把这些公共的因式全部找出来,并提到括号外面去,才算完成了提取公因式。(找最高公因式)
(3)对多项式中的每一项的数字系数,在提取时要提出这些数字系数的最大公约数,各项都含有相同的字母,要提取相同字母的指数的最低指数。
◆  提公因式法分解因式的关键:
1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)
2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)
★★  典型例题、方法导航
◆  考点一:因式分解的意义
【例1】判断下列变形哪些是因式分解?
(1) ---------------------------(       )
(2) -------------------(       )
(3) --------------------(       )
(4) ----------------------------------(       )
(5) -------------------------------(       )
【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线

【例3】已知关于 的多项式 分解因式为 ,求 的值。

◎ 变式议练一
1、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是(      )
a、                b、
c、        d、
2、辨析下列因式分解是否正确,若错误请改正。
(1)分解因式不彻底:
(2)提出公因式后漏项:
◆  考点二:提公因式法
【例4】分解因式:
(1)      (2)    (3)

(4)           (5) 2页,当前第112

◎ 变式议练二:
1、多项式 与多项式 的公因式是               ;
2、若多项式 的一个因式是 ,那么另一个因式是(      )
 、       、      、       、
3、若 是 的因式,则p为(          )
a、-15          b、-2           c、8           d、2
4、把下列各式分解因式:
(1)          (2)

(3)            (4)

◆  考点三:提公因式法的应用
【例5】计算:(1)        (2)

◎ 变式议练三:
1、已知 , ,则              ;
2、计算:                        ;
3、已知 ,求 的值。

◆  考点四:能力拓展
【例6】已知 , ,求 的值;

【例7】已知: ,求代数式 的值。

【例8】已知整数 、 、 使等式 对任意的 均成立,求 的值;    (山东省竞赛题)

◎ 变式议练四:
1、多项式 可以分解为两个整式的积,其中一个整式为 ,求另一个整式;

2、分解因式:

3、(it杯赛)化简:  .

◆◆◆  快乐体验
将一个乒乓球的半径增加 ,其周长增加 ,将地球的半径增加 ,其周长增加 ,比较 与 的大小;

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